Номер 1060, страница 241 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

41. Наглядное представление статистической информации. § 13. Элементы статистики. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1060, страница 241.

1060. Сравните значения выражений:

а) $5\sqrt{2}+3\sqrt{5}$ и $3\sqrt{7}+\sqrt{45};$

б) $6\sqrt{2}-2\sqrt{7}$ и $4\sqrt{3}-\sqrt{28};$

в) $5\sqrt{3}+3\sqrt{5}$ и $\sqrt{75}+7\sqrt{2};$

г) $\sqrt{112}-2\sqrt{5}$ и $4\sqrt{7}-\sqrt{23}.$

а) Сравним выражения $5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}$ и $3\sqrt{7} + \sqrt{45}$.

Сначала упростим второе выражение. Вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{45}$:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.

Таким образом, второе выражение равно $3\sqrt{7} + 3\sqrt{5}$.

Теперь нам нужно сравнить $5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}$ и $3\sqrt{7} + 3\sqrt{5}$.

Вычтем из обеих частей сравнения одинаковое слагаемое $3\sqrt{5}$. Знак неравенства при этом не изменится. Получим:

$5\sqrt{2}$ и $3\sqrt{7}$.

Чтобы сравнить эти два положительных числа, возведем их в квадрат:

$(5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$.

$(3\sqrt{7})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63$.

Так как $50 < 63$, то и $5\sqrt{2} < 3\sqrt{7}$.

Следовательно, $5\sqrt{2} + 3\sqrt{5} < 3\sqrt{7} + 3\sqrt{5}$, а значит $5\sqrt{2} + 3\sqrt{5} < 3\sqrt{7} + \sqrt{45}$.

Ответ: $5\sqrt{2} + 3\sqrt{5} < 3\sqrt{7} + \sqrt{45}$.

б) Сравним выражения $6\sqrt{2} - 2\sqrt{7}$ и $4\sqrt{3} - \sqrt{28}$.

Упростим второе выражение, вынеся множитель из-под знака корня в $\sqrt{28}$:

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$.

Второе выражение принимает вид $4\sqrt{3} - 2\sqrt{7}$.

Теперь сравним $6\sqrt{2} - 2\sqrt{7}$ и $4\sqrt{3} - 2\sqrt{7}$.

Прибавим к обеим частям сравнения одинаковое слагаемое $2\sqrt{7}$. Знак неравенства не изменится:

$6\sqrt{2}$ и $4\sqrt{3}$.

Возведем оба положительных числа в квадрат:

$(6\sqrt{2})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72$.

$(4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$.

Поскольку $72 > 48$, то $6\sqrt{2} > 4\sqrt{3}$.

Следовательно, $6\sqrt{2} - 2\sqrt{7} > 4\sqrt{3} - 2\sqrt{7}$, а значит $6\sqrt{2} - 2\sqrt{7} > 4\sqrt{3} - \sqrt{28}$.

Ответ: $6\sqrt{2} - 2\sqrt{7} > 4\sqrt{3} - \sqrt{28}$.

в) Сравним выражения $5\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$ и $\sqrt{75} + 7\sqrt{2}$.

Упростим второе выражение, вынеся множитель из-под знака корня в $\sqrt{75}$:

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.

Второе выражение равно $5\sqrt{3} + 7\sqrt{2}$.

Сравниваем $5\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$ и $5\sqrt{3} + 7\sqrt{2}$.

Вычтем из обеих частей $5\sqrt{3}$:

$3\sqrt{5}$ и $7\sqrt{2}$.

Возведем в квадрат оба положительных числа:

$(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$.

$(7\sqrt{2})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98$.

Так как $45 < 98$, то $3\sqrt{5} < 7\sqrt{2}$.

Следовательно, $5\sqrt{3} + 3\sqrt{5} < 5\sqrt{3} + 7\sqrt{2}$, а значит $5\sqrt{3} + 3\sqrt{5} < \sqrt{75} + 7\sqrt{2}$.

Ответ: $5\sqrt{3} + 3\sqrt{5} < \sqrt{75} + 7\sqrt{2}$.

г) Сравним выражения $\sqrt{112} - 2\sqrt{5}$ и $4\sqrt{7} - \sqrt{23}$.

Упростим первое выражение, вынеся множитель из-под знака корня в $\sqrt{112}$:

$\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{7} = 4\sqrt{7}$.

Первое выражение равно $4\sqrt{7} - 2\sqrt{5}$.

Сравниваем $4\sqrt{7} - 2\sqrt{5}$ и $4\sqrt{7} - \sqrt{23}$.

Вычтем из обеих частей $4\sqrt{7}$:

$-2\sqrt{5}$ и $-\sqrt{23}$.

Чтобы сравнить эти отрицательные числа, сначала сравним их модули (положительные значения): $2\sqrt{5}$ и $\sqrt{23}$.

Возведем их в квадрат:

$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.

$(\sqrt{23})^2 = 23$.

Поскольку $20 < 23$, то $2\sqrt{5} < \sqrt{23}$.

При умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-2\sqrt{5} > -\sqrt{23}$.

Следовательно, $4\sqrt{7} - 2\sqrt{5} > 4\sqrt{7} - \sqrt{23}$, а значит $\sqrt{112} - 2\sqrt{5} > 4\sqrt{7} - \sqrt{23}$.

Ответ: $\sqrt{112} - 2\sqrt{5} > 4\sqrt{7} - \sqrt{23}$.