Страница 241 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1057. Докажите тождество:

a) $(\frac{a+1}{a^2+1-2a} + \frac{1}{a-1}) \cdot (\frac{a}{a-1})^{-1} - \frac{2}{a-1} = 0;$

б) $(\frac{1+x}{x^2-xy} + \frac{1-y}{y^2-xy}) \cdot (\frac{x+y}{x^2y-y^2x})^{-1} = 1;$

в) $3a(\frac{1}{a-c} - \frac{c}{a^3-c^3}) \cdot (\frac{a^2+c^2+ac}{a+c}) - (\frac{a^2-c^2}{3c^2})^{-1} = 3.$

а) Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим выражение в первых скобках. Заметим, что знаменатель первой дроби является полным квадратом: $a^2+1-2a = (a-1)^2$.
$ \frac{a+1}{a^2+1-2a} + \frac{1}{a-1} = \frac{a+1}{(a-1)^2} + \frac{1}{a-1} $
Приведем дроби к общему знаменателю $(a-1)^2$:
$ \frac{a+1}{(a-1)^2} + \frac{a-1}{(a-1)^2} = \frac{a+1+a-1}{(a-1)^2} = \frac{2a}{(a-1)^2} $
Теперь упростим выражение во вторых скобках. Степень -1 означает, что нужно взять обратную дробь:
$ \left(\frac{a}{a-1}\right)^{-1} = \frac{a-1}{a} $
Перемножим полученные результаты:
$ \frac{2a}{(a-1)^2} \cdot \frac{a-1}{a} = \frac{2a(a-1)}{a(a-1)^2} $
Сократим дробь на $a$ и $(a-1)$:
$ \frac{2}{a-1} $
Теперь выполним последнее действие — вычитание:
$ \frac{2}{a-1} - \frac{2}{a-1} = 0 $
Левая часть равна правой части, тождество доказано при допустимых значениях $a \neq 1$ и $a \neq 0$.
Ответ: Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим выражение в первых скобках. Разложим знаменатели на множители: $x^2-xy = x(x-y)$ и $y^2-xy = y(y-x) = -y(x-y)$.
$ \frac{1+x}{x^2-xy} + \frac{1-y}{y^2-xy} = \frac{1+x}{x(x-y)} + \frac{1-y}{-y(x-y)} = \frac{1+x}{x(x-y)} - \frac{1-y}{y(x-y)} $
Приведем дроби к общему знаменателю $xy(x-y)$:
$ \frac{y(1+x) - x(1-y)}{xy(x-y)} = \frac{y+xy-x+xy}{xy(x-y)} = \frac{2xy-x+y}{xy(x-y)} $
Теперь упростим выражение во вторых скобках. Разложим знаменатель на множители и применим свойство степени -1 (обратная дробь):
$ \left(\frac{x+y}{x^2y-y^2x}\right)^{-1} = \left(\frac{x+y}{xy(x-y)}\right)^{-1} = \frac{xy(x-y)}{x+y} $
Перемножим полученные результаты:
$ \frac{2xy-x+y}{xy(x-y)} \cdot \frac{xy(x-y)}{x+y} $
Сократим дробь на $xy(x-y)$:
$ \frac{2xy-x+y}{x+y} $
Полученное выражение не равно 1 для всех допустимых значений $x$ и $y$. Например, подставим $x=2, y=3$:
$ \frac{2(2)(3)-2+3}{2+3} = \frac{12-2+3}{5} = \frac{13}{5} \neq 1 $
Следовательно, данное равенство не является тождеством. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Если бы между дробями в первой скобке стоял знак минус, тождество было бы верным.
Ответ: Данное равенство не является тождеством.

в) Преобразуем левую часть тождества. Сначала рассмотрим выражение в больших скобках. Упростим произведение дробей, используя формулу разности кубов $a^3-c^3 = (a-c)(a^2+ac+c^2)$:
$ \frac{c}{a^3-c^3} \cdot \frac{a^2+c^2+ac}{a+c} = \frac{c}{(a-c)(a^2+ac+c^2)} \cdot \frac{a^2+ac+c^2}{a+c} = \frac{c}{(a-c)(a+c)} = \frac{c}{a^2-c^2} $
Теперь выполним вычитание в скобках:
$ \frac{1}{a-c} - \frac{c}{a^2-c^2} = \frac{1}{a-c} - \frac{c}{(a-c)(a+c)} $
Приведем к общему знаменателю $(a-c)(a+c)$:
$ \frac{a+c}{(a-c)(a+c)} - \frac{c}{(a-c)(a+c)} = \frac{a+c-c}{(a-c)(a+c)} = \frac{a}{a^2-c^2} $
Умножим полученный результат на $3a$:
$ 3a \cdot \frac{a}{a^2-c^2} = \frac{3a^2}{a^2-c^2} $
Теперь преобразуем вторую часть выражения. Степень -1 означает, что нужно взять обратную дробь:
$ \left(\frac{a^2-c^2}{3c^2}\right)^{-1} = \frac{3c^2}{a^2-c^2} $
Выполним финальное вычитание:
$ \frac{3a^2}{a^2-c^2} - \frac{3c^2}{a^2-c^2} = \frac{3a^2-3c^2}{a^2-c^2} = \frac{3(a^2-c^2)}{a^2-c^2} $
Сократим дробь на $(a^2-c^2)$:
$ 3 $
Левая часть равна правой части, тождество доказано при допустимых значениях $a \neq c, a \neq -c, c \neq 0$.
Ответ: Тождество доказано.

1058. Найдите значение выражения

$(9 - 4a^2)\left(\frac{4a}{2a - 3} - 1\right)$

при $a = -1,2$.

Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Для этого разложим первый множитель на множители по формуле разности квадратов, а во втором множителе приведем выражение в скобках к общему знаменателю.

1. Упростим первый множитель: $9 - 4a^2$.

Это разность квадратов $3^2$ и $(2a)^2$.

$9 - 4a^2 = 3^2 - (2a)^2 = (3 - 2a)(3 + 2a)$.

2. Упростим второй множитель: $\frac{4a}{2a-3} - 1$.

Приведем к общему знаменателю $(2a - 3)$:

$\frac{4a}{2a-3} - 1 = \frac{4a}{2a-3} - \frac{2a-3}{2a-3} = \frac{4a - (2a-3)}{2a-3} = \frac{4a - 2a + 3}{2a-3} = \frac{2a+3}{2a-3}$.

3. Теперь перемножим упрощенные части:

$(9 - 4a^2)\left(\frac{4a}{2a-3} - 1\right) = (3 - 2a)(3 + 2a) \cdot \frac{2a+3}{2a-3}$.

Заметим, что $(3 - 2a) = -(2a - 3)$. Подставим это в выражение:

$-(2a - 3)(3 + 2a) \cdot \frac{2a+3}{2a-3}$.

Сократим одинаковые множители $(2a - 3)$ в числителе и знаменателе. Это действие допустимо, поскольку при $a = -1,2$ знаменатель $2a - 3 \neq 0$.

$-(2a - 3)(2a + 3) \cdot \frac{1}{2a - 3} = -(2a + 3)(2a + 3) = -(2a + 3)^2$.

4. Подставим значение $a = -1,2$ в полученное упрощенное выражение:

$-(2a + 3)^2 = -(2 \cdot (-1,2) + 3)^2 = -(-2,4 + 3)^2 = -(0,6)^2 = -0,36$.

Ответ: $-0,36$.

1059. Решите систему неравенств

$\begin{cases} \frac{x+1}{10} - \frac{x}{6} \le \frac{x}{10} + \frac{1-x}{30}, \\ \frac{x}{3} - \frac{x+5}{12} < \frac{x}{4} - \frac{x-5}{24}. \end{cases}$

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство отдельно и найти пересечение полученных решений.

Решим первое неравенство системы:

$\frac{x+1}{10} - \frac{x}{6} \le \frac{x}{10} + \frac{1-x}{30}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на их наименьшее общее кратное, которое равно 30.

$30 \cdot \left( \frac{x+1}{10} - \frac{x}{6} \right) \le 30 \cdot \left( \frac{x}{10} + \frac{1-x}{30} \right)$

$3(x+1) - 5x \le 3x + (1-x)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x + 3 - 5x \le 3x + 1 - x$

$-2x + 3 \le 2x + 1$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$3 - 1 \le 2x + 2x$

$2 \le 4x$

Разделив обе части на 4, получим:

$\frac{1}{2} \le x$, или $x \ge \frac{1}{2}$.

Решим второе неравенство системы:

$\frac{x}{3} - \frac{x+5}{12} < \frac{x}{4} - \frac{x-5}{24}$

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 24.

$24 \cdot \left( \frac{x}{3} - \frac{x+5}{12} \right) < 24 \cdot \left( \frac{x}{4} - \frac{x-5}{24} \right)$

$8x - 2(x+5) < 6x - (x-5)$

Раскроем скобки, учитывая знаки:

$8x - 2x - 10 < 6x - x + 5$

$6x - 10 < 5x + 5$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$6x - 5x < 5 + 10$

$x < 15$

Найдем пересечение решений:

Мы получили, что решение системы должно удовлетворять двум условиям одновременно: $x \ge \frac{1}{2}$ и $x < 15$.

Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ x < 15 \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является числовой промежуток от $\frac{1}{2}$ (включительно) до 15 (не включительно).

Ответ: $[\frac{1}{2}, 15)$.

1060. Сравните значения выражений:

а) $5\sqrt{2}+3\sqrt{5}$ и $3\sqrt{7}+\sqrt{45};$

б) $6\sqrt{2}-2\sqrt{7}$ и $4\sqrt{3}-\sqrt{28};$

в) $5\sqrt{3}+3\sqrt{5}$ и $\sqrt{75}+7\sqrt{2};$

г) $\sqrt{112}-2\sqrt{5}$ и $4\sqrt{7}-\sqrt{23}.$

а) Сравним выражения $5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}$ и $3\sqrt{7} + \sqrt{45}$.

Сначала упростим второе выражение. Вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{45}$:

$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.

Таким образом, второе выражение равно $3\sqrt{7} + 3\sqrt{5}$.

Теперь нам нужно сравнить $5\sqrt{2} + 3\sqrt{5}$ и $3\sqrt{7} + 3\sqrt{5}$.

Вычтем из обеих частей сравнения одинаковое слагаемое $3\sqrt{5}$. Знак неравенства при этом не изменится. Получим:

$5\sqrt{2}$ и $3\sqrt{7}$.

Чтобы сравнить эти два положительных числа, возведем их в квадрат:

$(5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50$.

$(3\sqrt{7})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63$.

Так как $50 < 63$, то и $5\sqrt{2} < 3\sqrt{7}$.

Следовательно, $5\sqrt{2} + 3\sqrt{5} < 3\sqrt{7} + 3\sqrt{5}$, а значит $5\sqrt{2} + 3\sqrt{5} < 3\sqrt{7} + \sqrt{45}$.

Ответ: $5\sqrt{2} + 3\sqrt{5} < 3\sqrt{7} + \sqrt{45}$.

б) Сравним выражения $6\sqrt{2} - 2\sqrt{7}$ и $4\sqrt{3} - \sqrt{28}$.

Упростим второе выражение, вынеся множитель из-под знака корня в $\sqrt{28}$:

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{7}$.

Второе выражение принимает вид $4\sqrt{3} - 2\sqrt{7}$.

Теперь сравним $6\sqrt{2} - 2\sqrt{7}$ и $4\sqrt{3} - 2\sqrt{7}$.

Прибавим к обеим частям сравнения одинаковое слагаемое $2\sqrt{7}$. Знак неравенства не изменится:

$6\sqrt{2}$ и $4\sqrt{3}$.

Возведем оба положительных числа в квадрат:

$(6\sqrt{2})^2 = 6^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72$.

$(4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$.

Поскольку $72 > 48$, то $6\sqrt{2} > 4\sqrt{3}$.

Следовательно, $6\sqrt{2} - 2\sqrt{7} > 4\sqrt{3} - 2\sqrt{7}$, а значит $6\sqrt{2} - 2\sqrt{7} > 4\sqrt{3} - \sqrt{28}$.

Ответ: $6\sqrt{2} - 2\sqrt{7} > 4\sqrt{3} - \sqrt{28}$.

в) Сравним выражения $5\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$ и $\sqrt{75} + 7\sqrt{2}$.

Упростим второе выражение, вынеся множитель из-под знака корня в $\sqrt{75}$:

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.

Второе выражение равно $5\sqrt{3} + 7\sqrt{2}$.

Сравниваем $5\sqrt{3} + 3\sqrt{5}$ и $5\sqrt{3} + 7\sqrt{2}$.

Вычтем из обеих частей $5\sqrt{3}$:

$3\sqrt{5}$ и $7\sqrt{2}$.

Возведем в квадрат оба положительных числа:

$(3\sqrt{5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$.

$(7\sqrt{2})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98$.

Так как $45 < 98$, то $3\sqrt{5} < 7\sqrt{2}$.

Следовательно, $5\sqrt{3} + 3\sqrt{5} < 5\sqrt{3} + 7\sqrt{2}$, а значит $5\sqrt{3} + 3\sqrt{5} < \sqrt{75} + 7\sqrt{2}$.

Ответ: $5\sqrt{3} + 3\sqrt{5} < \sqrt{75} + 7\sqrt{2}$.

г) Сравним выражения $\sqrt{112} - 2\sqrt{5}$ и $4\sqrt{7} - \sqrt{23}$.

Упростим первое выражение, вынеся множитель из-под знака корня в $\sqrt{112}$:

$\sqrt{112} = \sqrt{16 \cdot 7} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{7} = 4\sqrt{7}$.

Первое выражение равно $4\sqrt{7} - 2\sqrt{5}$.

Сравниваем $4\sqrt{7} - 2\sqrt{5}$ и $4\sqrt{7} - \sqrt{23}$.

Вычтем из обеих частей $4\sqrt{7}$:

$-2\sqrt{5}$ и $-\sqrt{23}$.

Чтобы сравнить эти отрицательные числа, сначала сравним их модули (положительные значения): $2\sqrt{5}$ и $\sqrt{23}$.

Возведем их в квадрат:

$(2\sqrt{5})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 5 = 20$.

$(\sqrt{23})^2 = 23$.

Поскольку $20 < 23$, то $2\sqrt{5} < \sqrt{23}$.

При умножении на $-1$ знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-2\sqrt{5} > -\sqrt{23}$.

Следовательно, $4\sqrt{7} - 2\sqrt{5} > 4\sqrt{7} - \sqrt{23}$, а значит $\sqrt{112} - 2\sqrt{5} > 4\sqrt{7} - \sqrt{23}$.

Ответ: $\sqrt{112} - 2\sqrt{5} > 4\sqrt{7} - \sqrt{23}$.

1061. Сравните числа:

а) $0,987^{-1}$ и 1;

б) $1,074^{-1}$ и 1.

а) Чтобы сравнить числа $0,987^{-1}$ и $1$, необходимо преобразовать выражение с отрицательной степенью. Согласно определению степени с целым отрицательным показателем, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Для показателя $-1$ это правило выглядит так: $a^{-1} = \frac{1}{a}$.
Применим это правило к нашему выражению:
$0,987^{-1} = \frac{1}{0,987}$
Теперь задача сводится к сравнению дроби $\frac{1}{0,987}$ с числом $1$.
Рассмотрим знаменатель дроби: $0,987$. Это число меньше единицы ($0,987 < 1$). Когда мы делим $1$ на положительное число, меньшее единицы, результат всегда будет больше единицы. Например, если бы мы делили $1$ на $0,5$, мы бы получили $2$, что больше $1$.
Таким образом, $\frac{1}{0,987} > 1$.
Следовательно, $0,987^{-1} > 1$.
Ответ: $0,987^{-1} > 1$.

б) Аналогично сравним числа $1,074^{-1}$ и $1$.
Используем то же правило для степени с отрицательным показателем: $a^{-1} = \frac{1}{a}$.
$1,074^{-1} = \frac{1}{1,074}$
Теперь необходимо сравнить дробь $\frac{1}{1,074}$ с числом $1$.
Рассмотрим знаменатель дроби: $1,074$. Это число больше единицы ($1,074 > 1$). Когда мы делим $1$ на число, большее единицы, результат всегда будет меньше единицы. Например, если бы мы делили $1$ на $2$, мы бы получили $0,5$, что меньше $1$.
Таким образом, $\frac{1}{1,074} < 1$.
Следовательно, $1,074^{-1} < 1$.
Ответ: $1,074^{-1} < 1$.

1 В каких случаях генеральная совокупность при исследовании за- меняется выборочной? Каким условиям должна удовлетворять вы- борка?

В каких случаях генеральная совокупность при исследовании заменяется выборочной?

Генеральная совокупность — это вся совокупность объектов или явлений, относительно которых исследователь намерен сделать выводы. Исследование всей генеральной совокупности (так называемое сплошное исследование) часто бывает невозможным или нецелесообразным. В таких случаях её заменяют выборочной совокупностью (или просто выборкой), то есть частью генеральной совокупности, отобранной для изучения.

Замена генеральной совокупности на выборочную происходит в следующих основных случаях:

• Бесконечно большой или очень большой объем генеральной совокупности. Когда число элементов в совокупности настолько велико, что их полное изучение физически невозможно или займет неоправданно много времени. Например: изучение мнения всех жителей страны по какому-либо вопросу, анализ качества всей произведенной продукции крупного завода за год, исследование всех песчинок на пляже.
• Экономическая нецелесообразность. Сплошное исследование может требовать огромных финансовых, материальных и трудовых затрат. Выборочное исследование значительно дешевле и позволяет получить результаты с приемлемой точностью при меньших расходах. Например: маркетинговые исследования для запуска нового продукта, большинство социологических опросов.
• Разрушающий характер контроля. Если исследование связано с уничтожением или повреждением объекта, то проверка всей совокупности приведет к уничтожению всей продукции. Например: проверка лампочек на продолжительность горения, испытание консервов на вкус, тестирование автомобилей на прочность при аварии (краш-тесты), проверка снарядов на пригодность.
• Необходимость получения срочных результатов. Выборочное исследование проводится гораздо быстрее, что критически важно, когда информация нужна оперативно для принятия управленческих или политических решений.

Таким образом, к выборочному методу прибегают, когда сплошное исследование является невозможным, слишком дорогим, долгим или ведет к уничтожению изучаемых объектов.

Ответ: Генеральная совокупность заменяется выборочной, когда проведение сплошного исследования невозможно (из-за слишком большого объема совокупности), нецелесообразно с точки зрения затрат времени и ресурсов, или когда исследование носит разрушающий характер и ведет к уничтожению изучаемых объектов.

Каким условиям должна удовлетворять выборка?

Чтобы выводы, полученные при изучении выборки, можно было с достаточной степенью уверенности распространить на всю генеральную совокупность, выборка должна удовлетворять двум ключевым условиям: репрезентативности и достаточному объему.

1. Репрезентативность (представительность). Это основное требование к выборке. Репрезентативная выборка — это выборка, которая правильно отражает структуру и основные характеристики генеральной совокупности. Это означает, что все важные для исследования группы элементов из генеральной совокупности должны быть представлены в выборке в тех же пропорциях. Например, если в генеральной совокупности студентов 55% девушек и 45% юношей, то и в репрезентативной выборке соотношение полов должно быть близким к этому.
   Достижение репрезентативности обеспечивается, в первую очередь, за счет случайности отбора. Случайный отбор гарантирует, что каждый элемент генеральной совокупности имеет равные или, по крайней мере, известные шансы попасть в выборку, что минимизирует систематическую ошибку (смещение).
2. Достаточный объем (размер). Выборка должна быть достаточно большой, чтобы минимизировать случайную ошибку и обеспечить статистическую значимость результатов. Слишком маленькая выборка не сможет адекватно отразить все разнообразие генеральной совокупности, и выводы, сделанные на ее основе, будут ненадежными.
   Объем выборки $n$ зависит от нескольких факторов:
   • Степени однородности генеральной совокупности (дисперсии изучаемого признака $ \sigma^2 $). Чем более разнородна совокупность, тем больше должен быть объем выборки.
   • Требуемой точности результатов (предельной ошибки выборки $E$ или $\Delta$). Чем выше точность нам нужна, тем больше должна быть выборка.
   • Уровня доверительной вероятности ($1-\alpha$), который определяет, с какой степенью уверенности можно переносить результаты с выборки на генеральную совокупность. Обычно используют уровни 95% или 99%. Этому уровню соответствует определенный Z-коэффициент (например, для 95% $Z \approx 1.96$).
   Формула для расчета минимального объема выборки для количественного признака при большом объеме генеральной совокупности может выглядеть так: $ n \ge \frac{Z^2 \cdot \sigma^2}{E^2} $
   Где $n$ – объем выборки, $Z$ – Z-оценка для заданного уровня доверия, $\sigma$ – стандартное отклонение в генеральной совокупности, $E$ – предельная ошибка.

Ответ: Выборка должна быть, во-первых, репрезентативной, то есть адекватно отражать характеристики генеральной совокупности, что достигается случайностью отбора. Во-вторых, она должна иметь достаточный объем (размер), чтобы обеспечить статистическую надежность и точность результатов исследования.

2 Объясните на примере, как по таблице частот находят среднее арифметическое, размах и моду.

Для объяснения используем пример. Пусть у нас есть данные об оценках, полученных учениками за контрольную работу, представленные в виде таблицы частот:

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое для данных, представленных в таблице частот, вычисляется как взвешенное среднее. Для этого необходимо выполнить следующие шаги:

1. Умножить каждое значение (в нашем примере — оценку) на его частоту.
2. Сложить все полученные произведения. Это будет сумма всех значений в выборке.
3. Найти общее количество данных, сложив все частоты.
4. Разделить сумму произведений (из шага 2) на общее количество данных (из шага 3).

Формула для вычисления среднего арифметического ($ \bar{x} $) по таблице частот выглядит так: $ \bar{x} = \frac{x_1 \cdot n_1 + x_2 \cdot n_2 + \dots + x_k \cdot n_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k} $

Применим эту формулу к нашему примеру:

1. Найдем сумму произведений значений на их частоты:
$ (5 \cdot 1) + (6 \cdot 2) + (7 \cdot 4) + (8 \cdot 5) + (9 \cdot 2) + (10 \cdot 1) = 5 + 12 + 28 + 40 + 18 + 10 = 113 $

2. Найдем общее количество учеников (сумму частот):
$ 1 + 2 + 4 + 5 + 2 + 1 = 15 $

3. Вычислим среднее арифметическое:
$ \bar{x} = \frac{113}{15} \approx 7,53 $

Ответ: среднее арифметическое оценок равно примерно 7,53.

Размах

Размах ряда данных — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в этом ряду. Чтобы найти размах по таблице частот, нужно найти максимальное и минимальное значение в столбце со значениями (в нашем примере "Оценка"), а частоты при этом не учитываются.

1. Находим в первом столбце наибольшее значение: $ x_{max} = 10 $.

2. Находим в первом столбце наименьшее значение: $ x_{min} = 5 $.

3. Вычисляем размах как разность между ними:
$ R = x_{max} - x_{min} = 10 - 5 = 5 $

Ответ: размах ряда оценок равен 5.

Мода

Мода — это значение, которое встречается в ряду данных чаще всего. Чтобы найти моду по таблице частот, необходимо:

1. Найти наибольшее число в столбце "Частота".
2. Определить, какому значению из первого столбца ("Оценка") соответствует эта наибольшая частота.

Применим к нашему примеру:

1. Смотрим на столбец "Частота" и находим в нем самое большое значение. Это число 5.

2. Смотрим, какой оценке в первом столбце соответствует эта частота. Частоте 5 соответствует оценка 8.

Следовательно, модой данного ряда является оценка 8, так как она встречается чаще других (5 раз).

Ответ: мода ряда оценок равна 8.

3. Какие способы наглядного представления статистической информации вам известны? Объясните, в чём состоит каждый из этих способов.

Для наглядного представления статистической информации используются различные способы, каждый из которых служит для решения определённых задач. Ниже приведены основные из них.

Таблица
Это основной способ упорядоченного представления числовых данных. Информация располагается в строках и столбцах, пересечение которых образует ячейки. Таблицы позволяют с высокой точностью представить исходные данные, удобны для поиска конкретных значений и выполнения расчётов. Однако, при большом объёме информации, выявить общие тенденции и закономерности по таблице может быть сложно.
Ответ: Таблица — это структурированное представление данных в виде строк и столбцов, предназначенное для точного отображения информации.

Столбчатая диаграмма
Этот тип диаграмм используется для сравнения дискретных категорий. Статистические данные представляются в виде прямоугольных столбцов, расположенных вертикально или горизонтально. Высота (или длина) каждого столбца пропорциональна значению, которое он представляет. Столбцы обычно разделены промежутками, чтобы подчеркнуть дискретность категорий. Столбчатые диаграммы очень наглядны при сравнении нескольких показателей, например, объёмов продаж по месяцам или результатов опроса.
Ответ: Столбчатая диаграмма — это графическое представление, использующее столбцы для наглядного сравнения значений по различным дискретным категориям.

Круговая диаграмма
Представляет собой круг, разделённый на секторы. Этот способ используется для иллюстрации структуры какой-либо совокупности, показывая долю каждой части в общем целом. Весь круг соответствует 100%. Величина центрального угла каждого сектора пропорциональна его доле и рассчитывается по формуле: $\alpha_i = \frac{f_i}{N} \cdot 360^\circ$, где $f_i$ — значение для данной категории, а $N$ — общая сумма всех значений. Круговые диаграммы эффективны, когда количество категорий невелико (обычно до 5-7), иначе они становятся трудночитаемыми.
Ответ: Круговая диаграмма — это круг, разделенный на секторы, для демонстрации долей каждой категории в общей сумме (структуры совокупности).

Линейный график (полигон)
Используется преимущественно для отображения изменения данных во времени (временные ряды). Данные изображаются в виде точек в декартовой системе координат, которые затем соединяются линиями. По горизонтальной оси (оси абсцисс) обычно откладывают время (годы, месяцы, дни), а по вертикальной (оси ординат) — значения исследуемого показателя. Линейные графики незаменимы для выявления тенденций (трендов), сезонности и циклических колебаний.
Ответ: Линейный график — это способ визуализации, показывающий динамику изменения данных во времени с помощью точек, соединенных линиями.

Гистограмма
Это способ графического представления распределения частот для непрерывных данных. Внешне она напоминает столбчатую диаграмму, но имеет ключевые отличия. Весь диапазон значений непрерывной переменной разбивается на последовательные, непересекающиеся интервалы. Затем для каждого интервала строится столбец, высота которого пропорциональна частоте (количеству наблюдений), попавшей в этот интервал. Столбцы в гистограмме располагаются вплотную друг к другу, что символизирует непрерывность данных.
Ответ: Гистограмма — это диаграмма из примыкающих друг к другу столбцов, которая показывает частотное распределение непрерывных данных по интервалам.

Диаграмма рассеяния (точечная диаграмма)
Применяется для исследования взаимосвязи между двумя количественными переменными. Каждое наблюдение изображается в виде точки на плоскости с координатами $(x, y)$, где $x$ и $y$ — значения двух переменных для этого наблюдения. Визуальный анализ расположения точек позволяет оценить наличие, направление (положительное или отрицательное) и силу связи (корреляции) между переменными. Если точки образуют четко направленное облако, это говорит о наличии связи.
Ответ: Диаграмма рассеяния — это график в виде набора точек, используемый для выявления и визуальной оценки взаимосвязи между двумя количественными переменными.

4 Что называется гистограммой? Как изображается на гистограмме общий объём исследуемой совокупности?

Что называется гистограммой?

Гистограмма — это один из видов столбчатой диаграммы, который используется для графического представления распределения числовых данных. Она наглядно показывает, как часто значения из некоторого набора данных попадают в определённые, заранее заданные интервалы.

Процесс построения гистограммы включает следующие шаги:

1. Весь диапазон значений исследуемой величины разбивается на ряд смежных, непересекающихся интервалов (их также называют разрядами или "карманами"). Чаще всего эти интервалы делают одинаковой ширины.
2. Для каждого интервала подсчитывается количество данных (частота), которые в него попадают.
3. На горизонтальной оси (оси абсцисс) откладываются границы интервалов.
4. Над каждым интервалом строится прямоугольник. Высота прямоугольника пропорциональна частоте попадания данных в этот интервал. Если ширина всех интервалов одинакова, то высота просто равна частоте. Если же интервалы разной ширины, то высота вычисляется как отношение частоты к ширине интервала (это называется плотностью частоты), чтобы площадь прямоугольника была пропорциональна частоте.

Ключевая особенность гистограммы, отличающая её от обычной столбчатой диаграммы, заключается в том, что прямоугольники примыкают друг к другу без зазоров, что символизирует непрерывность данных по горизонтальной оси.

Ответ: Гистограмма — это диаграмма, состоящая из примыкающих друг к другу прямоугольников, которая служит для визуализации распределения частот числовых данных, сгруппированных по интервалам.

Как изображается на гистограмме общий объём исследуемой совокупности?

Общий объём исследуемой совокупности (или размер выборки) — это общее число всех элементов в наборе данных. На гистограмме это значение представлено не одним числом, а через всю совокупность её графических элементов — прямоугольников.

В общем случае, когда интервалы на гистограмме могут иметь разную ширину, общий объём совокупности равен сумме площадей всех её прямоугольников.

Рассмотрим это подробнее. Пусть вся совокупность данных разбита на $k$ интервалов. Обозначим:

• $n_i$ — частота (количество элементов), попавшая в $i$-й интервал.
• $d_i$ — ширина $i$-го интервала.

Высота $h_i$ прямоугольника для $i$-го интервала определяется как плотность частоты: $h_i = \frac{n_i}{d_i}$.

Тогда площадь $S_i$ $i$-го прямоугольника вычисляется по формуле:

$S_i = h_i \cdot d_i = \frac{n_i}{d_i} \cdot d_i = n_i$

Таким образом, площадь каждого прямоугольника численно равна частоте соответствующего интервала.

Общий объём совокупности $N$ — это сумма частот по всем интервалам. Следовательно, он равен сумме площадей всех прямоугольников:

$N = \sum_{i=1}^{k} n_i = \sum_{i=1}^{k} S_i$

В частном, но наиболее распространённом случае, когда все интервалы $d_i$ имеют одинаковую ширину $d$, высоты прямоугольников $h_i$ становятся прямо пропорциональны частотам $n_i$. В такой ситуации общий объём совокупности будет пропорционален сумме высот всех прямоугольников. Однако наиболее точным и универсальным представлением является сумма площадей.

Ответ: Общий объём исследуемой совокупности на гистограмме равен сумме площадей всех её прямоугольников.