Страница 240 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1055. (Для работы в парах.) В оздоровительном лагере были получены следующие данные (с точностью до 0,1 кг) о весе 30 мальчиков:

21,8, 29,3, 30,2, 20,6, 23,8,
29,5, 28,6, 20,8, 28,4, 30,7,
23,9, 25,0, 25,5, 28,2, 22,5,
21,4, 24,5, 24,8, 29,6, 31,3,
26,3, 26,8, 23,2, 27,5, 28,8,
23,6, 22,8, 30,3, 23,5, 27,3.

Используя эти данные, заполните таблицы:

Таблица 1

Вес, кг Частота

20–22

22–24

24–26

26–28

28–30

30–32

Таблица 2

Вес, кг Частота

20–23

23–26

26–29

29–32

1) Распределите, кто заполняет таблицу 1, а кто — таблицу 2, и заполните их.

2) Проверьте друг у друга, правильно ли заполнены таблицы.

3) Постройте по данным своей таблицы гистограмму.

4) Сравните построенные гистограммы. Обсудите, что общего у этих гистограмм и чем они различаются.

1) Распределите, кто заполняет таблицу 1, а кто — таблицу 2, и заполните их.

Для выполнения этого задания необходимо сгруппировать предоставленные данные о весе 30 мальчиков по заданным интервалам и подсчитать частоту (количество мальчиков), попадающую в каждый интервал. Задача предполагает работу в парах, поэтому один ученик может заполнять Таблицу 1, а другой — Таблицу 2. Мы заполним обе таблицы для полноты решения.

Исходные данные (30 значений веса, кг):
21.8, 29.3, 30.2, 20.6, 23.8, 29.5, 28.6, 20.8, 28.4, 30.7, 23.9, 25.0, 25.5, 28.2, 22.5, 21.4, 24.5, 24.8, 29.6, 31.3, 26.3, 26.8, 23.2, 27.5, 28.8, 23.6, 22.8, 30.3, 23.5, 27.3.

Для удобства подсчета отсортируем данные по возрастанию:
20.6, 20.8, 21.4, 21.8, 22.5, 22.8, 23.2, 23.5, 23.6, 23.8, 23.9, 24.5, 24.8, 25.0, 25.5, 26.3, 26.8, 27.3, 27.5, 28.2, 28.4, 28.6, 28.8, 29.3, 29.5, 29.6, 30.2, 30.3, 30.7, 31.3.

При подсчете частот будем придерживаться правила: интервал вида $a-b$ включает значения $x$, для которых $a \le x < b$. Последний интервал включает обе границы. Поскольку в данных нет значений, совпадающих с границами интервалов, это правило не влияет на результат.

Заполнение Таблицы 1 (шаг интервала 2 кг):
• 20–22: 20.6, 20.8, 21.4, 21.8 (4 значения)
• 22–24: 22.5, 22.8, 23.2, 23.5, 23.6, 23.8, 23.9 (7 значений)
• 24–26: 24.5, 24.8, 25.0, 25.5 (4 значения)
• 26–28: 26.3, 26.8, 27.3, 27.5 (4 значения)
• 28–30: 28.2, 28.4, 28.6, 28.8, 29.3, 29.5, 29.6 (7 значений)
• 30–32: 30.2, 30.3, 30.7, 31.3 (4 значения)

Заполнение Таблицы 2 (шаг интервала 3 кг):
• 20–23: 20.6, 20.8, 21.4, 21.8, 22.5, 22.8 (6 значений)
• 23–26: 23.2, 23.5, 23.6, 23.8, 23.9, 24.5, 24.8, 25.0, 25.5 (9 значений)
• 26–29: 26.3, 26.8, 27.3, 27.5, 28.2, 28.4, 28.6, 28.8 (8 значений)
• 29–32: 29.3, 29.5, 29.6, 30.2, 30.3, 30.7, 31.3 (7 значений)

Ответ:

Таблица 1

Таблица 2

2) Проверьте друг у друга, правильно ли заполнены таблицы.

Для проверки правильности заполнения таблиц необходимо сложить частоты в каждой таблице. Сумма частот должна быть равна общему количеству данных, то есть 30.

Проверка для Таблицы 1: $4 + 7 + 4 + 4 + 7 + 4 = 30$.
Проверка для Таблицы 2: $6 + 9 + 8 + 7 = 30$.

В обоих случаях сумма частот равна 30, что соответствует общему числу мальчиков. Это подтверждает, что все данные были учтены и таблицы, скорее всего, заполнены правильно.

Ответ: Таблицы заполнены верно, так как сумма частот в каждой из них равна 30.

3) Постройте по данным своей таблицы гистограмму.

Гистограмма — это столбчатая диаграмма, где основанием каждого столбца является интервал значений, а высота — соответствующая ему частота. Для каждой таблицы будет построена своя гистограмма.

Гистограмма по данным Таблицы 1:
- По горизонтальной оси (ось X) откладывается вес в кг, размеченный интервалами: 20–22, 22–24, 24–26, 26–28, 28–30, 30–32.
- По вертикальной оси (ось Y) откладывается частота.
- Строятся 6 прямоугольников:
1. Для интервала 20–22 высота столбца равна 4.
2. Для интервала 22–24 высота столбца равна 7.
3. Для интервала 24–26 высота столбца равна 4.
4. Для интервала 26–28 высота столбца равна 4.
5. Для интервала 28–30 высота столбца равна 7.
6. Для интервала 30–32 высота столбца равна 4.

Гистограмма по данным Таблицы 2:
- По горизонтальной оси (ось X) откладывается вес в кг, размеченный интервалами: 20–23, 23–26, 26–29, 29–32.
- По вертикальной оси (ось Y) откладывается частота.
- Строятся 4 прямоугольника:
1. Для интервала 20–23 высота столбца равна 6.
2. Для интервала 23–26 высота столбца равна 9.
3. Для интервала 26–29 высота столбца равна 8.
4. Для интервала 29–32 высота столбца равна 7.

Ответ: Гистограммы строятся в виде набора прямоугольников, где основаниями служат интервалы веса, а высотами — соответствующие частоты из Таблицы 1 и Таблицы 2.

4) Сравните построенные гистограммы. Обсудите, что общего у этих гистограмм и чем они различаются.

Сравнение гистограмм, построенных по Таблице 1 и Таблице 2, выявляет как общие черты, так и существенные различия.

Что общего:
- Обе гистограммы представляют распределение одного и того же набора данных — веса 30 мальчиков.
- Обе гистограммы охватывают один и тот же диапазон значений веса (от 20 кг до 32 кг).
- Обе показывают, что большинство мальчиков имеют вес в центральной части диапазона, а не по его краям.

Чем различаются:
- Ширина интервалов: Основное различие заключается в способе группировки данных. В первой гистограмме ширина интервала (столбца) составляет 2 кг, а во второй — 3 кг.
- Количество столбцов: Как следствие, первая гистограмма имеет 6 столбцов, а вторая — только 4.
- Форма распределения: Это самое важное различие. - Гистограмма 1 (с узкими интервалами) имеет два явных пика (две моды) в интервалах 22–24 кг и 28–30 кг. Такое распределение называется двухмодальным. Это может указывать на наличие двух подгрупп в выборке (например, мальчики разных возрастных групп или телосложения). - Гистограмма 2 (с широкими интервалами) сглаживает эти детали. Она выглядит как одномодальное распределение с одним пиком в интервале 23–26 кг. Двухмодальный характер данных здесь скрыт из-за более грубого разбиения.
- Значения частот: Максимальная частота на первой гистограмме равна 7, а на второй — 9.

Вывод: Выбор ширины интервала для построения гистограммы сильно влияет на ее внешний вид и на выводы, которые можно сделать на ее основе. Более узкие интервалы (как в Таблице 1) позволяют увидеть более детальную структуру данных, но могут отражать случайные колебания. Более широкие интервалы (как в Таблице 2) дают более общее представление о распределении, но могут скрыть важные особенности, такие как многомодальность.

Ответ: Общее у гистограмм — они описывают один и тот же набор данных и общий диапазон веса. Различаются они шириной интервалов, количеством столбцов и, что самое главное, визуальной формой распределения: первая гистограмма показывает два пика (двухмодальная), а вторая сглаживает их до одного пика (одномодальная).

1056. Наблюдая за работой бригады токарей, установили, сколько времени они тратили на обработку одной детали. Обобщая полученные данные, составили таблицу:

Пользуясь таблицей, постройте гистограмму, характеризующую распределение токарей бригады по времени, затрачиваемому на обработку одной детали.

Для построения гистограммы, характеризующей распределение токарей по времени, затрачиваемому на обработку одной детали, необходимо выполнить следующие действия:

1. Подготовить систему координат. Горизонтальная ось (ось абсцисс) будет представлять «Время, мин», а вертикальная ось (ось ординат) — «Число токарей».

2. На горизонтальной оси отметить временные интервалы, указанные в таблице: от 10 до 12, от 12 до 14, от 14 до 16, от 16 до 18 и от 18 до 20. Ширина каждого интервала одинакова и составляет 2 минуты.

3. На вертикальной оси выбрать масштаб, который позволит отобразить частоты (число токарей). Максимальная частота в таблице равна 11, поэтому ось можно разметить до 12 с шагом 2.

4. Для каждого временного интервала построить прямоугольный столбец. Основание каждого столбца — это соответствующий интервал на горизонтальной оси, а высота — соответствующее ему число токарей из таблицы.

Построение столбцов:

• Интервал 10–12: высота столбца равна 2.

• Интервал 12–14: высота столбца равна 6.

• Интервал 14–16: высота столбца равна 11.

• Интервал 16–18: высота столбца равна 7.

• Интервал 18–20: высота столбца равна 5.

Так как временные интервалы являются непрерывными и следуют друг за другом, столбцы гистограммы должны быть расположены вплотную друг к другу.

Ответ:

Ниже представлена гистограмма, построенная по данным из таблицы.