Страница 246 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1071. Дана функция

$y = \begin{cases} x^{-1}, \text{ если } x < -\frac{1}{2}, \\ 4x, \text{ если } -\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}, \\ x^{-1}, \text{ если } x > \frac{1}{2}. \end{cases}$

Сколько корней имеет уравнение:

а) $y = 2;$

б) $y = \frac{1}{3};$

в) $y = 0;$

г) $y = -3?$

Чтобы найти количество корней для каждого уравнения, нужно решить его для каждого из трех интервалов, на которых определена функция.

а) y = 2;

Рассмотрим уравнение $y(x) = 2$ на каждом интервале:
1. При $x < - \frac{1}{2}$ уравнение имеет вид $x^{-1} = 2$, или $\frac{1}{x} = 2$. Решение $x = \frac{1}{2}$ не удовлетворяет условию $x < - \frac{1}{2}$. На этом участке корней нет.
2. При $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$ уравнение имеет вид $4x = 2$. Решение $x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию. Следовательно, здесь есть один корень.
3. При $x > \frac{1}{2}$ уравнение имеет вид $x^{-1} = 2$, или $\frac{1}{x} = 2$. Решение $x = \frac{1}{2}$ не удовлетворяет условию $x > \frac{1}{2}$. На этом участке корней нет.
Суммируя результаты, получаем, что уравнение имеет один корень.

Ответ: 1.

б) y = 1/3;

Рассмотрим уравнение $y(x) = \frac{1}{3}$ на каждом интервале:
1. При $x < - \frac{1}{2}$ уравнение имеет вид $\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$. Решение $x = 3$ не удовлетворяет условию $x < - \frac{1}{2}$. Корней нет.
2. При $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$ уравнение имеет вид $4x = \frac{1}{3}$. Решение $x = \frac{1}{12}$ удовлетворяет условию. Это один корень.
3. При $x > \frac{1}{2}$ уравнение имеет вид $\frac{1}{x} = \frac{1}{3}$. Решение $x = 3$ удовлетворяет условию. Это второй корень.
Суммируя результаты, получаем, что уравнение имеет два корня.

Ответ: 2.

в) y = 0;

Рассмотрим уравнение $y(x) = 0$ на каждом интервале:
1. При $x < - \frac{1}{2}$ уравнение $\frac{1}{x} = 0$ не имеет решений.
2. При $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$ уравнение имеет вид $4x = 0$. Решение $x = 0$ удовлетворяет условию. Это один корень.
3. При $x > \frac{1}{2}$ уравнение $\frac{1}{x} = 0$ не имеет решений.
Таким образом, уравнение имеет только один корень.

Ответ: 1.

г) y = -3?

Рассмотрим уравнение $y(x) = -3$ на каждом интервале:
1. При $x < - \frac{1}{2}$ уравнение имеет вид $\frac{1}{x} = -3$. Решение $x = -\frac{1}{3}$ не удовлетворяет условию $x < - \frac{1}{2}$ (так как $-\frac{1}{3} > -\frac{1}{2}$). Корней нет.
2. При $-\frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}$ уравнение имеет вид $4x = -3$. Решение $x = -\frac{3}{4}$ не удовлетворяет условию (так как $-\frac{3}{4} < -\frac{1}{2}$). Корней нет.
3. При $x > \frac{1}{2}$ уравнение имеет вид $\frac{1}{x} = -3$. Решение $x = -\frac{1}{3}$ не удовлетворяет условию $x > \frac{1}{2}$. Корней нет.
Таким образом, уравнение не имеет корней.

Ответ: 0.