Страница 245 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1064. Докажите, что прямая $y = -x + l$, где $l$ — некоторое положительное число, и гипербола $y = x^{-1}$:

а) имеют две общие точки, если $l > 2$;

б) имеют одну общую точку, если $l = 2$;

в) не имеют общих точек, если $l < 2$.

Для того чтобы найти количество общих точек прямой $y = -x + l$ и гиперболы $y = x^{-1}$ (что то же самое, что и $y = \frac{1}{x}$), необходимо найти количество решений системы этих двух уравнений. Для этого приравняем правые части уравнений:

$-x + l = \frac{1}{x}$

Так как $x=0$ не входит в область определения гиперболы, мы можем без опасений умножить обе части уравнения на $x$. Это приведет к равносильному уравнению:

$x(-x + l) = 1$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде:

$-x^2 + lx - 1 = 0$

Умножим на $-1$ для удобства:

$x^2 - lx + 1 = 0$

Количество общих точек исходных графиков равно количеству действительных корней этого квадратного уравнения. Количество корней, в свою очередь, зависит от знака его дискриминанта $D$. Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны $a=1$, $b=-l$, $c=1$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-l)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = l^2 - 4$

Теперь проанализируем количество решений для каждого из трех случаев, в зависимости от значения $l$.

а) имеют две общие точки, если $l > 2$
Графики имеют две общие точки, если квадратное уравнение $x^2 - lx + 1 = 0$ имеет два различных действительных корня. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ строго больше нуля. Решим неравенство $D > 0$:
$l^2 - 4 > 0$
$l^2 > 4$
Это неравенство справедливо при $l > 2$ или $l < -2$. Поскольку по условию задачи $l$ — положительное число, мы рассматриваем только решение $l > 2$. Таким образом, доказано, что при $l > 2$ прямая и гипербола имеют две общие точки. Ответ: Утверждение доказано.

б) имеют одну общую точку, если $l = 2$
Графики имеют одну общую точку, если квадратное уравнение $x^2 - lx + 1 = 0$ имеет ровно один действительный корень. Это происходит, когда дискриминант $D$ равен нулю. Решим уравнение $D = 0$:
$l^2 - 4 = 0$
$l^2 = 4$
Отсюда получаем $l = 2$ или $l = -2$. Так как по условию $l$ — положительное число, нам подходит только корень $l = 2$. При этом значении $l$ прямая является касательной к гиперболе. Таким образом, доказано, что при $l = 2$ графики имеют одну общую точку. Ответ: Утверждение доказано.

в) не имеют общих точек, если $l < 2$
Графики не имеют общих точек, если квадратное уравнение $x^2 - lx + 1 = 0$ не имеет действительных корней. Это происходит, когда дискриминант $D$ отрицателен. Решим неравенство $D < 0$:
$l^2 - 4 < 0$
$l^2 < 4$
Это неравенство эквивалентно $-2 < l < 2$. Учитывая, что по условию $l$ — положительное число, получаем интервал $0 < l < 2$. Условие в задаче ($l < 2$) для положительных $l$ полностью соответствует этому результату. Таким образом, доказано, что при $l < 2$ (и $l>0$) графики не имеют общих точек. Ответ: Утверждение доказано.

1065. Постройте график функции

$y = \begin{cases} x, & \text{если } x \le 0, \\ x^{-1}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

Найдите:

a) значение y, если x = -2; 2;

б) значение x, при котором y = -4; 4.

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения её графика необходимо построить график каждой из функций на указанном промежутке.

1. На промежутке $x \le 0$ функция задается формулой $y = x$. Графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей. Для построения достаточно двух точек, например, (0, 0) и (-3, -3). Мы строим часть этой прямой только для неположительных значений $x$ — это луч, начинающийся в точке (0, 0) и идущий в III четверть.

2. На промежутке $x > 0$ функция задается формулой $y = x^{-1}$, что то же самое, что и $y = \frac{1}{x}$. Графиком этой функции является гипербола. Так как $x > 0$, мы строим только ту ветвь гиперболы, которая расположена в I координатной четверти. Эта ветвь проходит через точки (1, 1), (2, 0.5), (0.5, 2) и асимптотически приближается к осям координат. Точка с абсциссой $x=0$ не принадлежит этой части графика.

Итоговый график состоит из двух частей: луча $y=x$ при $x \le 0$ и ветви гиперболы $y = \frac{1}{x}$ при $x > 0$.

а) значение y, если x = -2; 2;

Чтобы найти значение $y$ для заданного $x$, необходимо определить, какому из интервалов ($x \le 0$ или $x > 0$) принадлежит $x$ и использовать соответствующую формулу.

При $x = -2$:
Поскольку $-2 \le 0$, используем первую формулу: $y = x$.
$y = -2$.

При $x = 2$:
Поскольку $2 > 0$, используем вторую формулу: $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$.
$y = \frac{1}{2}$.
Ответ: при $x = -2$ значение $y = -2$; при $x = 2$ значение $y = \frac{1}{2}$.

б) значение x, при котором y = -4; 4.

Чтобы найти значение $x$ для заданного $y$, необходимо решить уравнения для каждой части функции и проверить, принадлежит ли найденный корень соответствующему промежутку.

При $y = -4$:

1. Рассмотрим случай $x \le 0$, где $y = x$.
Подставляем $y=-4$: $x = -4$.
Проверяем условие: $-4 \le 0$. Условие выполнено, следовательно, $x = -4$ является решением.

2. Рассмотрим случай $x > 0$, где $y = \frac{1}{x}$.
Подставляем $y=-4$: $-4 = \frac{1}{x}$, откуда $x = -\frac{1}{4}$.
Проверяем условие: $-\frac{1}{4} > 0$. Условие не выполнено, следовательно, это не является решением.

Таким образом, для $y = -4$ есть только одно решение: $x = -4$.

При $y = 4$:

1. Рассмотрим случай $x \le 0$, где $y = x$.
Подставляем $y=4$: $x = 4$.
Проверяем условие: $4 \le 0$. Условие не выполнено, следовательно, это не является решением.

2. Рассмотрим случай $x > 0$, где $y = \frac{1}{x}$.
Подставляем $y=4$: $4 = \frac{1}{x}$, откуда $x = \frac{1}{4}$.
Проверяем условие: $\frac{1}{4} > 0$. Условие выполнено, следовательно, $x = \frac{1}{4}$ является решением.

Таким образом, для $y = 4$ есть только одно решение: $x = \frac{1}{4}$.

Ответ: при $y = -4$ значение $x = -4$; при $y = 4$ значение $x = \frac{1}{4}$.

1066. Постройте график функции $y = |x^{-1}|$. Как расположен этот график относительно оси y?

Постройте график функции $y = |x^{-1}|$

Для построения графика функции $y = |x^{-1}|$ сначала преобразуем данное выражение. По определению степени с отрицательным показателем, $x^{-1} = \frac{1}{x}$. Следовательно, исходную функцию можно записать в виде $y = |\frac{1}{x}|$.

Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю. Таким образом, прямая $x=0$ (ось $y$) является вертикальной асимптотой графика.

Построение графика удобно выполнить в два этапа. Сначала построим график базовой функции $y = \frac{1}{x}$. Это стандартная гипербола, ветви которой расположены в первой и третьей координатных четвертях.

Затем применим преобразование модуля $y = |f(x)|$ к графику $y=f(x)$. Согласно правилу, часть графика, находящаяся над осью $x$ (где $y \ge 0$), остается без изменений, а часть графика, находящаяся под осью $x$ (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси $x$.

Применим это правило к графику $y = \frac{1}{x}$:

• Ветвь в первой четверти (где $x > 0$ и $y > 0$) остается на своем месте.
• Ветвь в третьей четверти (где $x < 0$ и $y < 0$) отражается относительно оси $x$ и переходит во вторую четверть.

Таким образом, итоговый график функции $y = |x^{-1}|$ состоит из двух ветвей, расположенных в верхней полуплоскости. Для $x > 0$ график совпадает с $y = \frac{1}{x}$, а для $x < 0$ — с $y = -\frac{1}{x}$. Обе ветви асимптотически приближаются к осям координат.

Ответ: График функции $y = |x^{-1}|$ состоит из двух ветвей. Одна ветвь является частью гиперболы $y=1/x$ в первой координатной четверти. Вторая ветвь является отражением части гиперболы $y=1/x$ из третьей четверти относительно оси абсцисс и расположена во второй координатной четверти.

Как расположен этот график относительно оси y?

Чтобы определить расположение графика относительно оси $y$, необходимо исследовать функцию на четность. Функция $f(x)$ называется четной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции симметричен относительно оси $y$.

Рассмотрим нашу функцию $f(x) = |x^{-1}| = |\frac{1}{x}|$. Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции для $-x$: $f(-x) = |(-x)^{-1}| = |-\frac{1}{x}|$.

Так как модуль отрицательного числа равен модулю положительного числа, $|-a| = |a|$, то: $f(-x) = |-\frac{1}{x}| = |\frac{1}{x}| = f(x)$.

Поскольку условие $f(-x) = f(x)$ выполняется, функция является четной. Следовательно, ее график симметричен относительно оси $y$.

Ответ: График функции $y = |x^{-1}|$ симметричен относительно оси $y$.

1067. Постройте в одной системе координат графики функций $y = x^{-1}$, где $x > 0$, и $y = x^{-2}$, где $x > 0$. Сравните значения $x^{-1}$ и $x^{-2}$, если:

а) $0 < x < 1$;

б) $x > 1$.

Для решения задачи построим графики функций $y = x^{-1}$ и $y = x^{-2}$ в одной системе координат при $x > 0$ и затем сравним их значения на заданных промежутках.

Сначала перепишем данные функции в виде дробей:

• $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$
• $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$

Так как по условию $x > 0$, графики обеих функций будут располагаться в первой координатной четверти.

Построение графиков

Для построения графиков составим таблицы значений для каждой функции.

Таблица значений для $y = \frac{1}{x}$:

Таблица значений для $y = \frac{1}{x^2}$:

Чтобы найти точку пересечения графиков, приравняем выражения для $y$:

$x^{-1} = x^{-2}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x^2}$

Учитывая, что $x > 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $x^2$:

$x = 1$

При $x=1$ ордината $y = 1^{-1} = 1^{-2} = 1$. Следовательно, графики пересекаются в точке $(1; 1)$.

Построив графики по точкам, мы увидим, что обе кривые (ветви гипербол) убывают на всей области определения $x > 0$. Они асимптотически приближаются к оси Y при $x \to 0^+$ и к оси X при $x \to \infty$. График $y = x^{-2}$ проходит выше графика $y = x^{-1}$ на интервале $(0, 1)$ и ниже него на интервале $(1, \infty)$.

Теперь, используя графики и алгебраические методы, сравним значения $x^{-1}$ и $x^{-2}$.

а) $0 < x < 1$

Из анализа графиков видно, что на интервале $(0, 1)$ кривая $y = x^{-2}$ лежит выше кривой $y = x^{-1}$. Это означает, что для любого $x$ из данного интервала выполняется неравенство $x^{-2} > x^{-1}$.

Для алгебраического доказательства сравним выражения, рассмотрев их разность: $x^{-2} - x^{-1} = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} = \frac{1-x}{x^2}$.

В интервале $0 < x < 1$ числитель $(1-x)$ является положительным числом, и знаменатель $x^2$ также положителен. Значит, вся дробь положительна:

$\frac{1-x}{x^2} > 0$

Следовательно, $x^{-2} - x^{-1} > 0$, что равносильно $x^{-2} > x^{-1}$.

Ответ: если $0 < x < 1$, то $x^{-1} < x^{-2}$.

б) $x > 1$

На интервале $(1, \infty)$ график функции $y = x^{-1}$ расположен выше графика функции $y = x^{-2}$. Это говорит о том, что при $x > 1$ значение $x^{-1}$ больше значения $x^{-2}$.

Рассмотрим ту же разность: $x^{-2} - x^{-1} = \frac{1-x}{x^2}$.

При $x > 1$ числитель $(1-x)$ является отрицательным числом, а знаменатель $x^2$ — положительным. Значит, вся дробь отрицательна:

$\frac{1-x}{x^2} < 0$

Следовательно, $x^{-2} - x^{-1} < 0$, что равносильно $x^{-2} < x^{-1}$.

Ответ: если $x > 1$, то $x^{-1} > x^{-2}$.

1068. Известно, что точки A(a; $\frac{1}{2601}$) и B(0,0625; b) принадлежат графику функции $y = x^{-2}$. Найдите a и b.

По условию задачи известно, что точки $A(a; \frac{1}{2601})$ и $B(0,0625; b)$ принадлежат графику функции $y = x^{-2}$. Это означает, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению функции. Мы можем найти неизвестные значения $a$ и $b$, подставив координаты точек в уравнение.

Нахождение a

Для точки $A(a; \frac{1}{2601})$ имеем $x=a$ и $y=\frac{1}{2601}$. Подставим эти значения в уравнение функции $y = x^{-2}$:

$\frac{1}{2601} = a^{-2}$

Согласно свойству степени с отрицательным показателем ($x^{-n} = \frac{1}{x^n}$), мы можем переписать это уравнение следующим образом:

$\frac{1}{2601} = \frac{1}{a^2}$

Из этого равенства следует, что знаменатели дробей равны:

$a^2 = 2601$

Чтобы найти $a$, нужно извлечь квадратный корень из 2601. Уравнение имеет два решения:

$a = \pm\sqrt{2601}$

$a = \pm51$

Таким образом, для $a$ возможны два значения: 51 и -51.

Ответ: $a = 51$ или $a = -51$.

Нахождение b

Для точки $B(0,0625; b)$ имеем $x=0,0625$ и $y=b$. Подставим эти значения в уравнение функции $y = x^{-2}$:

$b = (0,0625)^{-2}$

Для удобства вычислений преобразуем десятичную дробь 0,0625 в обыкновенную:

$0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{125}{2000} = \frac{25}{400} = \frac{1}{16}$

Теперь подставим это значение обратно в выражение для $b$:

$b = (\frac{1}{16})^{-2}$

Используя свойство $(\frac{m}{n})^{-k} = (\frac{n}{m})^k$, получаем:

$b = (\frac{16}{1})^2 = 16^2$

$b = 256$

Ответ: $b = 256$.

1069. Расположите в порядке возрастания числа $x_0^2, x_0, x_0^0, x_0^{-1}, x_0^{-2},$

зная, что:

a) $0 < x_0 < 1;$

б) $x_0 > 1.$

Нам нужно расположить в порядке возрастания числа $x_0^2$, $x_0$, $x_0^0$, $x_0^{-1}$, $x_0^{-2}$. Для этого проанализируем поведение степенной функции $y=x^a$ в зависимости от показателя степени $a$ и основания $x_0$.

Сначала упростим выражения:

• $x_0$ это $x_0^1$.
• $x_0^0 = 1$ (так как по условию $x_0 \ne 0$).
• $x_0^{-1} = \frac{1}{x_0}$.
• $x_0^{-2} = \frac{1}{x_0^2}$.

Таким образом, нам нужно сравнить числа $x_0^2$, $x_0^1$, $1$, $\frac{1}{x_0}$, $\frac{1}{x_0^2}$. Показатели степеней, с которыми мы работаем, это $2, 1, 0, -1, -2$. В порядке возрастания они располагаются так: $-2 < -1 < 0 < 1 < 2$.

а) Рассмотрим случай, когда $0 < x_0 < 1$. В этом случае степенная функция $y = x_0^p$ является убывающей. Это означает, что чем больше показатель степени $p$, тем меньше значение функции. Поскольку показатели степеней упорядочены как $-2 < -1 < 0 < 1 < 2$, то для соответствующих значений функции будет выполняться обратное неравенство: $x_0^2 < x_0^1 < x_0^0 < x_0^{-1} < x_0^{-2}$.

Для наглядности возьмем конкретный пример, пусть $x_0 = \frac{1}{2}$. Тогда:

• $x_0^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
• $x_0 = \frac{1}{2}$
• $x_0^0 = 1$
• $x_0^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$
• $x_0^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 4$

Расположив эти значения в порядке возрастания, получаем: $\frac{1}{4} < \frac{1}{2} < 1 < 2 < 4$. Это соответствует ряду: $x_0^2 < x_0 < x_0^0 < x_0^{-1} < x_0^{-2}$.

Ответ: $x_0^2, x_0, x_0^0, x_0^{-1}, x_0^{-2}$.

б) Рассмотрим случай, когда $x_0 > 1$. В этом случае степенная функция $y = x_0^p$ является возрастающей. Это означает, что чем больше показатель степени $p$, тем больше значение функции. Поскольку показатели степеней упорядочены как $-2 < -1 < 0 < 1 < 2$, то для соответствующих значений функции будет выполняться такое же неравенство: $x_0^{-2} < x_0^{-1} < x_0^0 < x_0^1 < x_0^2$.

Для наглядности возьмем конкретный пример, пусть $x_0 = 2$. Тогда:

• $x_0^{-2} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$
• $x_0^{-1} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
• $x_0^0 = 2^0 = 1$
• $x_0 = 2^1 = 2$
• $x_0^2 = 2^2 = 4$

Расположив эти значения в порядке возрастания, получаем: $\frac{1}{4} < \frac{1}{2} < 1 < 2 < 4$. Это соответствует ряду: $x_0^{-2} < x_0^{-1} < x_0^0 < x_0 < x_0^2$.

Ответ: $x_0^{-2}, x_0^{-1}, x_0^0, x_0, x_0^2$.

1070. Постройте график функции

$y = \begin{cases} x^{-2}, & \text{если } -2 \le x < -1, \\ x^{2}, & \text{если } -1 \le x \le 1, \\ x^{-2}, & \text{если } 1 < x \le 2. \end{cases}$

Сколько общих точек имеет этот график с прямой $y = a$ в случае, когда:

a) $a = 2$;

б) $a = 1$;

в) $a = \frac{1}{2}$;

г) $a = 0?$

Для решения задачи сначала построим график заданной кусочной функции.

$y = \begin{cases} x^{-2}, & \text{если } -2 \le x < -1 \\ x^2, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ x^{-2}, & \text{если } 1 < x \le 2 \end{cases}$

График состоит из трех частей:

1. На промежутке $[-2, -1)$ это часть графика функции $y = \frac{1}{x^2}$. В точке $x = -2$ значение функции $y = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$. Таким образом, точка $(-2, \frac{1}{4})$ принадлежит графику. При приближении $x$ к $-1$ слева, значение $y$ стремится к $1$. Точка $(-1, 1)$ не принадлежит этой части графика (является "выколотой").

2. На промежутке $[-1, 1]$ это часть параболы $y = x^2$. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. На концах промежутка значения функции равны: при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$; при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$ принадлежат графику. Эта часть графика "заполняет" выколотую точку из предыдущего шага.

3. На промежутке $(1, 2]$ это снова часть графика функции $y = \frac{1}{x^2}$. При приближении $x$ к $1$ справа, значение $y$ стремится к $1$. В точке $x = 2$ значение функции $y = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. Точка $(2, \frac{1}{4})$ принадлежит графику.

Итоговый график представляет собой непрерывную кривую. Минимальное значение функции на всей области определения $[-2, 2]$ равно 0 (достигается в точке $x=0$), а максимальное значение равно 1 (достигается в точках $x=-1$ и $x=1$).

Теперь определим, сколько общих точек имеет этот график с прямой $y = a$ в каждом из заданных случаев. Это эквивалентно нахождению количества решений уравнения $y(x) = a$.

а) a = 2;

Ищем количество пересечений графика с горизонтальной прямой $y = 2$. Поскольку максимальное значение функции $y(x)$ равно 1, а $2 > 1$, прямая $y=2$ проходит выше всего графика и не имеет с ним общих точек.

Ответ: 0.

б) a = 1;

Ищем количество пересечений с прямой $y = 1$. Это значение является максимальным для функции. Решим уравнение $y(x)=1$.
На промежутке $[-1, 1]$ уравнение $x^2 = 1$ имеет два корня: $x=-1$ и $x=1$. Оба корня принадлежат этому отрезку.
На промежутках $[-2, -1)$ и $(1, 2]$ уравнение $x^{-2} = 1 \implies x^2=1$ не имеет решений, входящих в эти интервалы.
Следовательно, график имеет две общие точки с прямой $y=1$: $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: 2.

в) a = $\frac{1}{2}$;

Ищем количество пересечений с прямой $y = \frac{1}{2}$. Так как $0 < \frac{1}{2} < 1$, прямая пересечет все три части графика. Решим уравнение $y(x)=\frac{1}{2}$ на каждом участке:
1. На $[-2, -1)$: $x^{-2} = \frac{1}{2} \implies x^2=2 \implies x = \pm \sqrt{2}$. В этот интервал попадает корень $x = -\sqrt{2}$. (1 решение)
2. На $[-1, 1]$: $x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Оба корня лежат в этом промежутке. (2 решения)
3. На $(1, 2]$: $x^{-2} = \frac{1}{2} \implies x^2=2 \implies x = \pm \sqrt{2}$. В этот интервал попадает корень $x = \sqrt{2}$. (1 решение)
Суммируя, получаем $1 + 2 + 1 = 4$ общие точки.

Ответ: 4.

г) a = 0?

Ищем количество пересечений с прямой $y = 0$ (осью Ox). Это значение является минимальным для функции. Решим уравнение $y(x)=0$.
Уравнение $x^{-2} = \frac{1}{x^2} = 0$ не имеет решений.
Уравнение $x^2 = 0$ имеет одно решение $x = 0$, которое принадлежит промежутку $[-1, 1]$.
Таким образом, существует только одна общая точка: $(0, 0)$.

Ответ: 1.