Номер 1069, страница 245 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функции y=x^(-1) и y=x^(-2) и их свойства. § 13. Элементы статистики. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1069, страница 245.

1069. Расположите в порядке возрастания числа $x_0^2, x_0, x_0^0, x_0^{-1}, x_0^{-2},$

зная, что:

a) $0 < x_0 < 1;$

б) $x_0 > 1.$

Нам нужно расположить в порядке возрастания числа $x_0^2$, $x_0$, $x_0^0$, $x_0^{-1}$, $x_0^{-2}$. Для этого проанализируем поведение степенной функции $y=x^a$ в зависимости от показателя степени $a$ и основания $x_0$.

Сначала упростим выражения:

• $x_0$ это $x_0^1$.
• $x_0^0 = 1$ (так как по условию $x_0 \ne 0$).
• $x_0^{-1} = \frac{1}{x_0}$.
• $x_0^{-2} = \frac{1}{x_0^2}$.

Таким образом, нам нужно сравнить числа $x_0^2$, $x_0^1$, $1$, $\frac{1}{x_0}$, $\frac{1}{x_0^2}$. Показатели степеней, с которыми мы работаем, это $2, 1, 0, -1, -2$. В порядке возрастания они располагаются так: $-2 < -1 < 0 < 1 < 2$.

а) Рассмотрим случай, когда $0 < x_0 < 1$. В этом случае степенная функция $y = x_0^p$ является убывающей. Это означает, что чем больше показатель степени $p$, тем меньше значение функции. Поскольку показатели степеней упорядочены как $-2 < -1 < 0 < 1 < 2$, то для соответствующих значений функции будет выполняться обратное неравенство: $x_0^2 < x_0^1 < x_0^0 < x_0^{-1} < x_0^{-2}$.

Для наглядности возьмем конкретный пример, пусть $x_0 = \frac{1}{2}$. Тогда:

• $x_0^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$
• $x_0 = \frac{1}{2}$
• $x_0^0 = 1$
• $x_0^{-1} = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$
• $x_0^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 4$

Расположив эти значения в порядке возрастания, получаем: $\frac{1}{4} < \frac{1}{2} < 1 < 2 < 4$. Это соответствует ряду: $x_0^2 < x_0 < x_0^0 < x_0^{-1} < x_0^{-2}$.

Ответ: $x_0^2, x_0, x_0^0, x_0^{-1}, x_0^{-2}$.

б) Рассмотрим случай, когда $x_0 > 1$. В этом случае степенная функция $y = x_0^p$ является возрастающей. Это означает, что чем больше показатель степени $p$, тем больше значение функции. Поскольку показатели степеней упорядочены как $-2 < -1 < 0 < 1 < 2$, то для соответствующих значений функции будет выполняться такое же неравенство: $x_0^{-2} < x_0^{-1} < x_0^0 < x_0^1 < x_0^2$.

Для наглядности возьмем конкретный пример, пусть $x_0 = 2$. Тогда:

• $x_0^{-2} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$
• $x_0^{-1} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$
• $x_0^0 = 2^0 = 1$
• $x_0 = 2^1 = 2$
• $x_0^2 = 2^2 = 4$

Расположив эти значения в порядке возрастания, получаем: $\frac{1}{4} < \frac{1}{2} < 1 < 2 < 4$. Это соответствует ряду: $x_0^{-2} < x_0^{-1} < x_0^0 < x_0 < x_0^2$.

Ответ: $x_0^{-2}, x_0^{-1}, x_0^0, x_0, x_0^2$.