Номер 1075, страница 248 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Дисперсия и среднее квадартичное отклонение. § 13. Элементы статистики. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1075, страница 248.

1075. В таблице приведены средние месячные температуры (в градусах Цельсия), установленные для Москвы и Хабаровска для первого полугодия на основе наблюдений, проводившихся в течение 80 лет.

Месяц | Москва | Хабаровск
Январь | $-9,3$ | $-22,3$
Февраль | $-8,6$ | $-17,2$
Март | $-3,4$ | $-8,5$
Апрель | $5,1$ | $3,1$
Май | $12,4$ | $11,1$
Июнь | $16,7$ | $17,4$

Пользуясь калькулятором, найдите для каждого ряда данных:

а) среднее арифметическое месячных температур;

б) отклонения температур от среднего арифметического;

в) дисперсию.

Объясните, какие особенности климата отражены в значениях дисперсии.

Расчеты для Москвы

а) среднее арифметическое месячных температур;
Для нахождения среднего арифметического необходимо сложить все значения температур и разделить на их количество (6).
Сумма температур для Москвы: $S_{Мск} = -9.3 + (-8.6) + (-3.4) + 5.1 + 12.4 + 16.7 = 12.9$.
Среднее арифметическое вычисляется по формуле $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}$:
$\bar{x}_{Мск} = \frac{12.9}{6} = 2.15$.

Ответ: Среднее арифметическое месячных температур для Москвы равно $2.15^\circ C$.

б) отклонения температур от среднего арифметического;
Отклонение — это разность между конкретным значением и средним арифметическим ($x_i - \bar{x}$). Для Москвы среднее значение $\bar{x}_{Мск} = 2.15$.
Январь: $-9.3 - 2.15 = -11.45$
Февраль: $-8.6 - 2.15 = -10.75$
Март: $-3.4 - 2.15 = -5.55$
Апрель: $5.1 - 2.15 = 2.95$
Май: $12.4 - 2.15 = 10.25$
Июнь: $16.7 - 2.15 = 14.55$

Ответ: Отклонения температур для Москвы составляют: $-11.45, -10.75, -5.55, 2.95, 10.25, 14.55$.

в) дисперсию.
Дисперсия — это среднее арифметическое квадратов отклонений. Формула для расчета: $D = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n}$.
Сумма квадратов отклонений для Москвы:
$(-11.45)^2 + (-10.75)^2 + (-5.55)^2 + (2.95)^2 + (10.25)^2 + (14.55)^2 = 131.1025 + 115.5625 + 30.8025 + 8.7025 + 105.0625 + 211.7025 = 602.935$.
Дисперсия для Москвы:
$D_{Мск} = \frac{602.935}{6} \approx 100.49$.

Ответ: Дисперсия для Москвы приблизительно равна $100.49$.

---

Расчеты для Хабаровска

а) среднее арифметическое месячных температур;
Сумма температур для Хабаровска: $S_{Хаб} = -22.3 + (-17.2) + (-8.5) + 3.1 + 11.1 + 17.4 = -16.4$.
Среднее арифметическое: $\bar{x}_{Хаб} = \frac{-16.4}{6} \approx -2.73$.

Ответ: Среднее арифметическое месячных температур для Хабаровска приблизительно равно $-2.73^\circ C$.

б) отклонения температур от среднего арифметического;
Отклонение от среднего для Хабаровска ($-2.73^\circ C$):
Январь: $-22.3 - (-2.73) = -19.57$
Февраль: $-17.2 - (-2.73) = -14.47$
Март: $-8.5 - (-2.73) = -5.77$
Апрель: $3.1 - (-2.73) = 5.83$
Май: $11.1 - (-2.73) = 13.83$
Июнь: $17.4 - (-2.73) = 20.13$

Ответ: Отклонения температур для Хабаровска составляют: $-19.57, -14.47, -5.77, 5.83, 13.83, 20.13$.

в) дисперсию.
Сумма квадратов отклонений для Хабаровска:
$(-19.57)^2 + (-14.47)^2 + (-5.77)^2 + (5.83)^2 + (13.83)^2 + (20.13)^2 \approx 382.98 + 209.38 + 33.29 + 33.99 + 191.27 + 405.22 = 1256.13$.
Дисперсия для Хабаровска:
$D_{Хаб} = \frac{1256.13}{6} \approx 209.36$.

Ответ: Дисперсия для Хабаровска приблизительно равна $209.36$.

---

Объяснение, какие особенности климата отражены в значениях дисперсии

Дисперсия является мерой разброса данных относительно их среднего значения. Чем больше значение дисперсии, тем сильнее данные отклоняются от среднего, то есть тем больше их изменчивость.

Сравним полученные значения дисперсий: $D_{Мск} \approx 100.49$ и $D_{Хаб} \approx 209.36$.

Дисперсия температурного ряда для Хабаровска более чем в два раза превышает дисперсию для Москвы. Это указывает на значительно больший разброс среднемесячных температур в Хабаровске в течение первого полугодия.

Данное различие в дисперсии отражает ключевые особенности климата этих двух городов:

1. Климат Хабаровска является резко континентальным. Для него характерны очень большие годовые амплитуды температуры: очень холодная зима и достаточно теплое лето. Большой разброс температур в течение полугодия (от $-22.3^\circ C$ в январе до $17.4^\circ C$ в июне) приводит к большому значению дисперсии.

2. Климат Москвы — умеренно-континентальный. Здесь колебания температур между сезонами менее выражены. Зимы мягче, и в целом годовая амплитуда температур меньше, чем в Хабаровске. Следовательно, разброс температурных данных меньше, что и подтверждается более низким значением дисперсии.

Таким образом, более высокое значение дисперсии для Хабаровска количественно характеризует большую "континентальность" его климата, то есть большую изменчивость температур на протяжении года, по сравнению с Москвой.