Номер 1077, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

43. Дисперсия и среднее квадартичное отклонение. § 13. Элементы статистики. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1077, страница 249.

1077. Для произвольного ряда, составленного из пяти двузначных чисел, найдите среднее квадратичное отклонение.

Поставленная задача не имеет единственного решения, поскольку значение среднего квадратичного отклонения (СКО) напрямую зависит от конкретных чисел, из которых составлен ряд. Термин "произвольный ряд" означает, что мы можем выбрать любые пять двузначных чисел (целые числа от 10 до 99 включительно), и для каждого такого набора СКО будет своим.

Среднее квадратичное отклонение для выборки размером $n$ рассчитывается по формуле:

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$

Здесь $n=5$ — количество чисел в ряду, $x_i$ — это числа в ряду, а $\bar{x}$ — их среднее арифметическое. Чтобы показать, как меняется результат в зависимости от выбора чисел, рассмотрим несколько примеров.

1. Ряд с минимальным отклонением

Если выбрать ряд, состоящий из пяти одинаковых чисел, например $\{42, 42, 42, 42, 42\}$, то разброс данных будет отсутствовать. Среднее арифметическое $\bar{x}$ будет равно 42, и все отклонения $(x_i - \bar{x})$ будут равны нулю. Следовательно, и среднее квадратичное отклонение для такого ряда будет равно 0. Это минимально возможное значение СКО.

2. Ряд с максимальным отклонением

Чтобы максимизировать разброс, нужно брать значения с краев диапазона [10, 99]. Максимальное СКО для пяти чисел достигается, когда три числа равны одному крайнему значению, а два — другому. Например, рассмотрим ряд $\{10, 10, 10, 99, 99\}$.

Сначала найдем среднее арифметическое:

$\bar{x} = \frac{3 \cdot 10 + 2 \cdot 99}{5} = \frac{30 + 198}{5} = \frac{228}{5} = 45.6$

Далее рассчитаем дисперсию (квадрат СКО):

$\sigma^2 = \frac{3 \cdot (10 - 45.6)^2 + 2 \cdot (99 - 45.6)^2}{5} = \frac{3 \cdot (-35.6)^2 + 2 \cdot (53.4)^2}{5} = \frac{3 \cdot 1267.36 + 2 \cdot 2851.56}{5} = \frac{3802.08 + 5703.12}{5} = \frac{9505.2}{5} = 1901.04$

Теперь найдем СКО, извлекая корень из дисперсии:

$\sigma = \sqrt{1901.04} = 43.6$

Это максимально возможное значение СКО для ряда из пяти двузначных чисел.

3. Другой произвольный ряд

Для любого другого ряда, например $\{15, 23, 50, 78, 88\}$, СКО будет иметь промежуточное значение. Для этого ряда оно составит приблизительно 28.91.

Таким образом, дать единственный численный ответ на поставленный вопрос невозможно без уточнения, о каком именно ряде идет речь.

Ответ: Задача в такой формулировке не имеет однозначного решения. Среднее квадратичное отклонение зависит от конкретных чисел в ряду. Его значение для ряда из пяти двузначных чисел может варьироваться в диапазоне от 0 (для ряда из одинаковых чисел) до 43.6 (для ряда, составленного из чисел 10 и 99).