Номер 1082, страница 249 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 12. Дополнительные упражнения к главе V. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1082, страница 249.

1082. Упростите выражение:

a) $\frac{x^{-1} + y^{-1}}{(x+y)^2}$

б) $\frac{ab^{-1} - a^{-1}b}{a^{-1} - b^{-1}}$

а) Упростим выражение $ \frac{x^{-1} + y^{-1}}{(x+y)^2} $.

1. Сначала преобразуем числитель, используя определение степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $.

$ x^{-1} + y^{-1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} $

2. Приведем дроби в числителе к общему знаменателю $ xy $:

$ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy} $

3. Теперь подставим полученное выражение обратно в исходную дробь:

$ \frac{\frac{x+y}{xy}}{(x+y)^2} $

4. Разделим числитель на знаменатель. Деление на выражение равносильно умножению на обратное ему выражение:

$ \frac{x+y}{xy} \cdot \frac{1}{(x+y)^2} = \frac{x+y}{xy(x+y)^2} $

5. Сократим дробь на общий множитель $ (x+y) $:

$ \frac{1}{xy(x+y)} $

Ответ: $ \frac{1}{xy(x+y)} $

б) Упростим выражение $ \frac{ab^{-1} - a^{-1}b}{a^{-1} - b^{-1}} $.

1. Используя определение степени с отрицательным показателем, перепишем выражение:

$ \frac{a \cdot \frac{1}{b} - \frac{1}{a} \cdot b}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} = \frac{\frac{a}{b} - \frac{b}{a}}{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} $

2. Преобразуем числитель, приведя дроби к общему знаменателю $ ab $:

$ \frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a^2}{ab} - \frac{b^2}{ab} = \frac{a^2 - b^2}{ab} $

3. Преобразуем знаменатель, также приведя дроби к общему знаменателю $ ab $:

$ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{b}{ab} - \frac{a}{ab} = \frac{b - a}{ab} $

4. Подставим полученные выражения в дробь:

$ \frac{\frac{a^2 - b^2}{ab}}{\frac{b - a}{ab}} $

5. Разделим одну дробь на другую, умножив верхнюю на перевернутую нижнюю. Знаменатели $ ab $ сокращаются:

$ \frac{a^2 - b^2}{ab} \cdot \frac{ab}{b-a} = \frac{a^2 - b^2}{b - a} $

6. Разложим числитель по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ \frac{(a-b)(a+b)}{b - a} $

7. Заметим, что $ b - a = -(a - b) $. Подставим это в знаменатель и сократим дробь:

$ \frac{(a-b)(a+b)}{-(a-b)} = -(a+b) $

Ответ: $ -(a+b) $