Номер 1070, страница 245 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

42. Функции y=x^(-1) и y=x^(-2) и их свойства. § 13. Элементы статистики. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1070, страница 245.

1070. Постройте график функции

$y = \begin{cases} x^{-2}, & \text{если } -2 \le x < -1, \\ x^{2}, & \text{если } -1 \le x \le 1, \\ x^{-2}, & \text{если } 1 < x \le 2. \end{cases}$

Сколько общих точек имеет этот график с прямой $y = a$ в случае, когда:

a) $a = 2$;

б) $a = 1$;

в) $a = \frac{1}{2}$;

г) $a = 0?$

Для решения задачи сначала построим график заданной кусочной функции.

$y = \begin{cases} x^{-2}, & \text{если } -2 \le x < -1 \\ x^2, & \text{если } -1 \le x \le 1 \\ x^{-2}, & \text{если } 1 < x \le 2 \end{cases}$

График состоит из трех частей:

1. На промежутке $[-2, -1)$ это часть графика функции $y = \frac{1}{x^2}$. В точке $x = -2$ значение функции $y = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$. Таким образом, точка $(-2, \frac{1}{4})$ принадлежит графику. При приближении $x$ к $-1$ слева, значение $y$ стремится к $1$. Точка $(-1, 1)$ не принадлежит этой части графика (является "выколотой").

2. На промежутке $[-1, 1]$ это часть параболы $y = x^2$. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. На концах промежутка значения функции равны: при $x = -1$, $y = (-1)^2 = 1$; при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Точки $(-1, 1)$ и $(1, 1)$ принадлежат графику. Эта часть графика "заполняет" выколотую точку из предыдущего шага.

3. На промежутке $(1, 2]$ это снова часть графика функции $y = \frac{1}{x^2}$. При приближении $x$ к $1$ справа, значение $y$ стремится к $1$. В точке $x = 2$ значение функции $y = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$. Точка $(2, \frac{1}{4})$ принадлежит графику.

Итоговый график представляет собой непрерывную кривую. Минимальное значение функции на всей области определения $[-2, 2]$ равно 0 (достигается в точке $x=0$), а максимальное значение равно 1 (достигается в точках $x=-1$ и $x=1$).

Теперь определим, сколько общих точек имеет этот график с прямой $y = a$ в каждом из заданных случаев. Это эквивалентно нахождению количества решений уравнения $y(x) = a$.

а) a = 2;

Ищем количество пересечений графика с горизонтальной прямой $y = 2$. Поскольку максимальное значение функции $y(x)$ равно 1, а $2 > 1$, прямая $y=2$ проходит выше всего графика и не имеет с ним общих точек.

Ответ: 0.

б) a = 1;

Ищем количество пересечений с прямой $y = 1$. Это значение является максимальным для функции. Решим уравнение $y(x)=1$.
На промежутке $[-1, 1]$ уравнение $x^2 = 1$ имеет два корня: $x=-1$ и $x=1$. Оба корня принадлежат этому отрезку.
На промежутках $[-2, -1)$ и $(1, 2]$ уравнение $x^{-2} = 1 \implies x^2=1$ не имеет решений, входящих в эти интервалы.
Следовательно, график имеет две общие точки с прямой $y=1$: $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: 2.

в) a = $\frac{1}{2}$;

Ищем количество пересечений с прямой $y = \frac{1}{2}$. Так как $0 < \frac{1}{2} < 1$, прямая пересечет все три части графика. Решим уравнение $y(x)=\frac{1}{2}$ на каждом участке:
1. На $[-2, -1)$: $x^{-2} = \frac{1}{2} \implies x^2=2 \implies x = \pm \sqrt{2}$. В этот интервал попадает корень $x = -\sqrt{2}$. (1 решение)
2. На $[-1, 1]$: $x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Оба корня лежат в этом промежутке. (2 решения)
3. На $(1, 2]$: $x^{-2} = \frac{1}{2} \implies x^2=2 \implies x = \pm \sqrt{2}$. В этот интервал попадает корень $x = \sqrt{2}$. (1 решение)
Суммируя, получаем $1 + 2 + 1 = 4$ общие точки.

Ответ: 4.

г) a = 0?

Ищем количество пересечений с прямой $y = 0$ (осью Ox). Это значение является минимальным для функции. Решим уравнение $y(x)=0$.
Уравнение $x^{-2} = \frac{1}{x^2} = 0$ не имеет решений.
Уравнение $x^2 = 0$ имеет одно решение $x = 0$, которое принадлежит промежутку $[-1, 1]$.
Таким образом, существует только одна общая точка: $(0, 0)$.

Ответ: 1.