Страница 244 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1062. Известно, что точки $A(a; \frac{1}{247})$ и $B(843; b)$ принадлежат гиперболе $y = x^{-1}$. Найдите $a$ и $b$.

Уравнение гиперболы $y = x^{-1}$ можно записать в более привычном виде как $y = \frac{1}{x}$.

Если точка принадлежит графику функции, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой функции.

Рассмотрим точку $A(a; \frac{1}{247})$. Так как она принадлежит гиперболе, мы можем подставить ее координаты $x=a$ и $y=\frac{1}{247}$ в уравнение $y = \frac{1}{x}$:

$\frac{1}{247} = \frac{1}{a}$

Из этого равенства очевидно, что знаменатели дробей должны быть равны, следовательно, $a = 247$.

Теперь рассмотрим точку $B(843; b)$. Она также принадлежит данной гиперболе. Подставим ее координаты $x=843$ и $y=b$ в уравнение $y = \frac{1}{x}$:

$b = \frac{1}{843}$

Таким образом, мы нашли неизвестные значения $a$ и $b$.

Ответ: $a = 247$, $b = \frac{1}{843}$.

1063. Постройте в одной системе координат графики функций $y = x$ и $y = x^{-1}$. Выясните, при каких значениях аргумента верны равенство $x = x^{-1}$ и неравенства $x > x^{-1}$ и $x < x^{-1}$ в случае, если:

а) $x > 0$;

б) $x < 0$.

Сначала построим в одной системе координат графики функций $y = x$ и $y = x^{-1}$.

Функция $y = x$ — это линейная функция, её график — прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$ и точку $(1, 1)$. Эта прямая является биссектрисой I и III координатных четвертей.

Функция $y = x^{-1}$ или $y = \frac{1}{x}$ — это обратная пропорциональность, её график — гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $k=1 > 0$. Оси координат являются асимптотами для графика этой функции.

Для решения равенства и неравенств мы будем сравнивать расположение графиков друг относительно друга. Равенство $x = x^{-1}$ выполняется в точках пересечения графиков. Неравенство $x > x^{-1}$ выполняется на тех промежутках, где график прямой $y=x$ находится выше графика гиперболы $y = x^{-1}$. Неравенство $x < x^{-1}$ выполняется, когда график прямой $y=x$ находится ниже графика гиперболы $y = x^{-1}$.

Найдем точки пересечения графиков, решив уравнение:
$x = x^{-1}$
$x = \frac{1}{x}$
$x^2 = 1$ (при условии, что $x \neq 0$)
$x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Таким образом, графики пересекаются в точках $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

а) x > 0

Рассматриваем случай, когда $x > 0$. Это соответствует I координатной четверти.

• Равенство $x = x^{-1}$ выполняется в точке пересечения графиков в этой четверти, то есть при $x = 1$.
• Неравенство $x > x^{-1}$ выполняется, когда график $y=x$ лежит выше графика $y=x^{-1}$. В I четверти это происходит на интервале справа от точки пересечения, то есть при $x > 1$.
• Неравенство $x < x^{-1}$ выполняется, когда график $y=x$ лежит ниже графика $y=x^{-1}$. В I четверти это происходит на интервале между осью $y$ и точкой пересечения, то есть при $0 < x < 1$.

Ответ: равенство $x = x^{-1}$ верно при $x = 1$; неравенство $x > x^{-1}$ верно при $x \in (1; +\infty)$; неравенство $x < x^{-1}$ верно при $x \in (0; 1)$.

б) x < 0

Рассматриваем случай, когда $x < 0$. Это соответствует III координатной четверти.

• Равенство $x = x^{-1}$ выполняется в точке пересечения графиков в этой четверти, то есть при $x = -1$.
• Неравенство $x > x^{-1}$ выполняется, когда график $y=x$ лежит выше графика $y=x^{-1}$. В III четверти это происходит на интервале между точкой пересечения и осью $y$, то есть при $-1 < x < 0$.
• Неравенство $x < x^{-1}$ выполняется, когда график $y=x$ лежит ниже графика $y=x^{-1}$. В III четверти это происходит на интервале слева от точки пересечения, то есть при $x < -1$.

Ответ: равенство $x = x^{-1}$ верно при $x = -1$; неравенство $x > x^{-1}$ верно при $x \in (-1; 0)$; неравенство $x < x^{-1}$ верно при $x \in (-\infty; -1)$.