Номер 1059, страница 241 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

41. Наглядное представление статистической информации. § 13. Элементы статистики. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1059, страница 241.

1059. Решите систему неравенств

$\begin{cases} \frac{x+1}{10} - \frac{x}{6} \le \frac{x}{10} + \frac{1-x}{30}, \\ \frac{x}{3} - \frac{x+5}{12} < \frac{x}{4} - \frac{x-5}{24}. \end{cases}$

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство отдельно и найти пересечение полученных решений.

Решим первое неравенство системы:

$\frac{x+1}{10} - \frac{x}{6} \le \frac{x}{10} + \frac{1-x}{30}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на их наименьшее общее кратное, которое равно 30.

$30 \cdot \left( \frac{x+1}{10} - \frac{x}{6} \right) \le 30 \cdot \left( \frac{x}{10} + \frac{1-x}{30} \right)$

$3(x+1) - 5x \le 3x + (1-x)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x + 3 - 5x \le 3x + 1 - x$

$-2x + 3 \le 2x + 1$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:

$3 - 1 \le 2x + 2x$

$2 \le 4x$

Разделив обе части на 4, получим:

$\frac{1}{2} \le x$, или $x \ge \frac{1}{2}$.

Решим второе неравенство системы:

$\frac{x}{3} - \frac{x+5}{12} < \frac{x}{4} - \frac{x-5}{24}$

Умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 24.

$24 \cdot \left( \frac{x}{3} - \frac{x+5}{12} \right) < 24 \cdot \left( \frac{x}{4} - \frac{x-5}{24} \right)$

$8x - 2(x+5) < 6x - (x-5)$

Раскроем скобки, учитывая знаки:

$8x - 2x - 10 < 6x - x + 5$

$6x - 10 < 5x + 5$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$6x - 5x < 5 + 10$

$x < 15$

Найдем пересечение решений:

Мы получили, что решение системы должно удовлетворять двум условиям одновременно: $x \ge \frac{1}{2}$ и $x < 15$.

Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} x \ge \frac{1}{2} \\ x < 15 \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является числовой промежуток от $\frac{1}{2}$ (включительно) до 15 (не включительно).

Ответ: $[\frac{1}{2}, 15)$.