Страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

1106. Сократите дробь:

a) $\frac{x^4 + a^2x^2 + a^4}{x^3 + a^3}$;

б) $\frac{8a^{n+2} + a^{n-1}}{16a^{n+4} + 4a^{n+2} + a^n}$.

а)

Чтобы сократить дробь $ \frac{x^4 + a^2x^2 + a^4}{x^3 + a^3} $, разложим на множители ее числитель и знаменатель.

Сначала разложим числитель $ x^4 + a^2x^2 + a^4 $. Для этого воспользуемся методом выделения полного квадрата. Дополним выражение до полного квадрата суммы $ (x^2+a^2)^2 $, прибавив и отняв $ a^2x^2 $:

$ x^4 + a^2x^2 + a^4 = (x^4 + 2a^2x^2 + a^4) - a^2x^2 $

Теперь выражение можно представить в виде разности квадратов:

$ (x^2 + a^2)^2 - (ax)^2 $

Применяем формулу разности квадратов $ A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) $:

$ (x^2 + a^2 - ax)(x^2 + a^2 + ax) = (x^2 - ax + a^2)(x^2 + ax + a^2) $

Теперь разложим на множители знаменатель $ x^3 + a^3 $. Это формула суммы кубов $ A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) $:

$ x^3 + a^3 = (x + a)(x^2 - ax + a^2) $

Подставим полученные разложения в исходную дробь:

$ \frac{(x^2 - ax + a^2)(x^2 + ax + a^2)}{(x + a)(x^2 - ax + a^2)} $

Сокращаем общий множитель $ (x^2 - ax + a^2) $:

$ \frac{x^2 + ax + a^2}{x + a} $

Ответ: $ \frac{x^2 + ax + a^2}{x + a} $

б)

Чтобы сократить дробь $ \frac{8a^{n+2} + a^{n-1}}{16a^{n+4} + 4a^{n+2} + a^n} $, разложим на множители ее числитель и знаменатель.

В числителе $ 8a^{n+2} + a^{n-1} $ вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $ a^{n-1} $:

$ a^{n-1}(8a^{(n+2)-(n-1)} + 1) = a^{n-1}(8a^3 + 1) $

Выражение в скобках $ 8a^3 + 1 $ — это сумма кубов $ (2a)^3 + 1^3 $. Разложим по формуле:

$ a^{n-1}(2a + 1)((2a)^2 - 2a \cdot 1 + 1^2) = a^{n-1}(2a + 1)(4a^2 - 2a + 1) $

В знаменателе $ 16a^{n+4} + 4a^{n+2} + a^n $ вынесем за скобки общий множитель с наименьшей степенью, то есть $ a^n $:

$ a^n(16a^{(n+4)-n} + 4a^{(n+2)-n} + 1) = a^n(16a^4 + 4a^2 + 1) $

Выражение в скобках $ 16a^4 + 4a^2 + 1 $ разложим на множители, выделив полный квадрат:

$ a^n((16a^4 + 8a^2 + 1) - 4a^2) = a^n((4a^2 + 1)^2 - (2a)^2) $

Применив формулу разности квадратов, получим:

$ a^n(4a^2 + 1 - 2a)(4a^2 + 1 + 2a) = a^n(4a^2 - 2a + 1)(4a^2 + 2a + 1) $

Подставим разложения в исходную дробь:

$ \frac{a^{n-1}(2a + 1)(4a^2 - 2a + 1)}{a^n(4a^2 - 2a + 1)(4a^2 + 2a + 1)} $

Сокращаем общие множители $ (4a^2 - 2a + 1) $ и степени переменной $ a $:

$ \frac{a^{n-1}}{a^n} \cdot \frac{2a + 1}{4a^2 + 2a + 1} = \frac{1}{a} \cdot \frac{2a + 1}{4a^2 + 2a + 1} = \frac{2a + 1}{a(4a^2 + 2a + 1)} $

Раскроем скобки в знаменателе для окончательного вида:

$ \frac{2a + 1}{4a^3 + 2a^2 + a} $

Ответ: $ \frac{2a + 1}{4a^3 + 2a^2 + a} $

1107. Решите систему уравнений:

$\begin{cases}x + y + z + u = 5, \\y + z + u + v = 1, \\z + u + v + x = 2, \\u + v + x + y = 0, \\v + x + y + z = 4.\end{cases}$

Для решения данной системы уравнений, состоящей из пяти уравнений с пятью неизвестными ($x, y, z, u, v$), можно заметить ее симметричную структуру. В каждом уравнении отсутствует одна из переменных. Это наблюдение позволяет использовать эффективный метод решения.

1. Введем вспомогательную переменную $S$, равную сумме всех неизвестных:

$S = x + y + z + u + v$

2. Теперь перепишем каждое уравнение исходной системы, выражая левую часть через $S$. Для этого к левой и правой части каждого уравнения можно добавить недостающую переменную, но проще заметить, что левая часть каждого уравнения равна $S$ минус недостающая переменная.

Из первого уравнения: $x + y + z + u = 5 \implies S - v = 5$
Из второго уравнения: $y + z + u + v = 1 \implies S - x = 1$
Из третьего уравнения: $z + u + v + x = 2 \implies S - y = 2$
Из четвертого уравнения: $u + v + x + y = 0 \implies S - z = 0$
Из пятого уравнения: $v + x + y + z = 4 \implies S - u = 4$

3. Из полученной системы уравнений выразим каждую переменную через $S$:

$v = S - 5$
$x = S - 1$
$y = S - 2$
$z = S - 0 = S$
$u = S - 4$

4. Подставим полученные выражения для $x, y, z, u, v$ в уравнение $S = x + y + z + u + v$:

$S = (S - 1) + (S - 2) + S + (S - 4) + (S - 5)$

5. Решим это уравнение относительно $S$:

$S = 5S - (1 + 2 + 4 + 5)$

$S = 5S - 12$

$4S = 12$

$S = \frac{12}{4} = 3$

6. Теперь, когда значение $S$ найдено, мы можем вычислить значения всех исходных переменных:

$x = S - 1 = 3 - 1 = 2$

$y = S - 2 = 3 - 2 = 1$

$z = S = 3$

$u = S - 4 = 3 - 4 = -1$

$v = S - 5 = 3 - 5 = -2$

Для проверки можно подставить найденные значения в любое из исходных уравнений. Например, для первого уравнения: $x + y + z + u = 2 + 1 + 3 + (-1) = 5$. Равенство выполняется.

Ответ: $x=2, \ y=1, \ z=3, \ u=-1, \ v=-2$.

1108. Докажите, что уравнение $x^4 - 5x^3 - 4x^2 - 7x + 4 = 0$ не имеет отрицательных корней.

Для доказательства того, что уравнение $x^4 - 5x^3 - 4x^2 - 7x + 4 = 0$ не имеет отрицательных корней, необходимо показать, что при любом $x < 0$ левая часть уравнения не обращается в ноль.

Предположим, что $x$ является отрицательным корнем. Тогда его можно представить в виде $x = -a$, где $a$ — некоторое положительное число ($a > 0$).

Подставим $x = -a$ в исходное уравнение:

$(-a)^4 - 5(-a)^3 - 4(-a)^2 - 7(-a) + 4 = 0$

После упрощения получим:

$a^4 + 5a^3 - 4a^2 + 7a + 4 = 0$

Теперь задача сводится к тому, чтобы доказать, что это новое уравнение не имеет решений для $a > 0$. Для этого покажем, что левая часть уравнения, обозначим её как $g(a)$, всегда строго положительна при $a > 0$.

$g(a) = a^4 + 5a^3 - 4a^2 + 7a + 4$

Рассмотрим два возможных случая для значений $a$.

Случай 1: $0 < a < 1$

Сгруппируем слагаемые в выражении $g(a)$ следующим образом: $g(a) = a^4 + 5a^3 + 7a + 4(1 - a^2)$.

Поскольку $a > 0$, слагаемые $a^4$, $5a^3$ и $7a$ являются положительными. Из условия $0 < a < 1$ следует, что $0 < a^2 < 1$, а значит $1 - a^2 > 0$. Поэтому слагаемое $4(1 - a^2)$ также положительно. Выражение $g(a)$ является суммой положительных чисел, следовательно, $g(a) > 0$.

Случай 2: $a \ge 1$

Сгруппируем слагаемые в выражении $g(a)$ по-другому: $g(a) = a^4 + a^2(5a - 4) + 7a + 4$.

Поскольку $a \ge 1$, слагаемые $a^4$, $7a$ и $4$ очевидно положительны. Рассмотрим выражение $5a - 4$. Так как $a \ge 1$, то $5a \ge 5$, и $5a - 4 \ge 5 - 4 = 1 > 0$. Следовательно, слагаемое $a^2(5a - 4)$ является произведением положительных множителей ($a^2 > 0$ и $5a-4 > 0$), значит, оно также положительно. Выражение $g(a)$ является суммой положительных чисел, следовательно, $g(a) > 0$.

Таким образом, мы показали, что для любого $a > 0$ (объединяя оба случая) значение выражения $g(a) = a^4 + 5a^3 - 4a^2 + 7a + 4$ строго положительно. Следовательно, уравнение $g(a) = 0$ не имеет положительных решений.

Это означает, что наше исходное предположение о существовании отрицательного корня $x$ было неверным. Таким образом, доказано, что уравнение $x^4 - 5x^3 - 4x^2 - 7x + 4 = 0$ не имеет отрицательных корней.

Ответ: Поскольку было показано, что для любого отрицательного $x$ левая часть уравнения строго положительна, уравнение не может иметь отрицательных корней.

1109. Найдите обыкновенную дробь со знаменателем 21, заключённую между дробями $\frac{5}{14}$ и $\frac{5}{12}$.

Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{x}{21}$, где $x$ — целое число. Согласно условию задачи, эта дробь должна находиться между дробями $\frac{5}{14}$ и $\frac{5}{12}$. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$\frac{5}{14} < \frac{x}{21} < \frac{5}{12}$

Для решения этого неравенства необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 14, 21 и 12.

Разложим знаменатели на простые множители:
$14 = 2 \cdot 7$
$21 = 3 \cdot 7$
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

Наименьшее общее кратное будет произведением всех простых множителей в их наивысших степенях:
НОК(14, 21, 12) = $2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$.

Теперь приведем каждую дробь в неравенстве к знаменателю 84, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:
$\frac{5}{14} = \frac{5 \cdot 6}{14 \cdot 6} = \frac{30}{84}$
$\frac{x}{21} = \frac{x \cdot 4}{21 \cdot 4} = \frac{4x}{84}$
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 7}{12 \cdot 7} = \frac{35}{84}$

Подставим полученные дроби обратно в исходное неравенство:
$\frac{30}{84} < \frac{4x}{84} < \frac{35}{84}$

Поскольку знаменатели всех дробей равны, мы можем перейти к неравенству для их числителей:
$30 < 4x < 35$

Чтобы найти $x$, разделим все части этого неравенства на 4:
$\frac{30}{4} < x < \frac{35}{4}$
Переведем дроби в десятичный вид для наглядности:
$7.5 < x < 8.75$

Так как числитель $x$ должен быть целым числом, то единственное целое число, которое удовлетворяет данному неравенству, — это $x=8$.

Следовательно, искомая обыкновенная дробь со знаменателем 21 — это $\frac{8}{21}$.

Ответ: $\frac{8}{21}$

1110. Какой цифрой оканчивается сумма $54^{35} + 28^{21}$?

Чтобы найти, какой цифрой оканчивается сумма $54^{35} + 28^{21}$, необходимо определить последнюю цифру каждого из слагаемых и затем найти последнюю цифру их суммы.

Определение последней цифры числа $54^{35}$

Последняя цифра степени числа зависит только от последней цифры его основания. Следовательно, последняя цифра числа $54^{35}$ будет такой же, как и у числа $4^{35}$.

Рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа 4:

• $4^1 = 4$
• $4^2 = 16 \rightarrow 6$
• $4^3 = 64 \rightarrow 4$
• $4^4 = 256 \rightarrow 6$

Видно, что последние цифры образуют цикл (4, 6). Если показатель степени нечетный, последняя цифра — 4. Если четный — 6. Поскольку в выражении $4^{35}$ показатель степени 35 нечетный, то число $54^{35}$ оканчивается на цифру 4.

Определение последней цифры числа $28^{21}$

Аналогично, последняя цифра числа $28^{21}$ совпадает с последней цифрой числа $8^{21}$.

Рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа 8:

• $8^1 = 8$
• $8^2 = 64 \rightarrow 4$
• $8^3 = 512 \rightarrow 2$
• $8^4 = 4096 \rightarrow 6$
• $8^5 = 32768 \rightarrow 8$

Здесь последние цифры повторяются с циклом длиной 4: (8, 4, 2, 6). Чтобы найти последнюю цифру для $8^{21}$, найдем остаток от деления показателя степени 21 на длину цикла 4.

$21 \div 4 = 5$ и остаток $1$.

Остаток 1 соответствует первому элементу в цикле, то есть цифре 8. Значит, число $28^{21}$ оканчивается на 8.

Определение последней цифры итоговой суммы

Последняя цифра суммы $54^{35} + 28^{21}$ равна последней цифре суммы их последних цифр.

Складываем найденные последние цифры: $4 + 8 = 12$.

Последняя цифра числа 12 — это 2.

Ответ: 2

1111. Решите уравнение $x^2 - 2x + y^2 - 4y + 5 = 0$.

Для решения данного уравнения сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $x$ и переменную $y$, и применим метод выделения полного квадрата. Исходное уравнение: $x^2 - 2x + y^2 - 4y + 5 = 0$.

Сгруппируем члены уравнения по переменным: $(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + 5 = 0$.

Теперь выделим полный квадрат для выражения с $x$. Используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, мы видим, что для выражения $x^2 - 2x$ не хватает слагаемого $1^2=1$. Добавим и вычтем 1, чтобы не изменить выражение: $x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x-1)^2 - 1$.

Аналогично поступим с выражением, содержащим $y$. Для $y^2 - 4y$ не хватает слагаемого $2^2=4$. Добавим и вычтем 4: $y^2 - 4y = (y^2 - 4y + 4) - 4 = (y-2)^2 - 4$.

Подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение: $((x-1)^2 - 1) + ((y-2)^2 - 4) + 5 = 0$.

Упростим уравнение, раскрыв скобки и сгруппировав числовые слагаемые: $(x-1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 + 5 = 0$
$(x-1)^2 + (y-2)^2 - 5 + 5 = 0$
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 0$.

В результате мы получили уравнение, в котором сумма двух квадратов равна нулю. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (то есть, $(x-1)^2 \ge 0$ и $(y-2)^2 \ge 0$), их сумма может быть равна нулю только в том единственном случае, когда каждое из слагаемых равно нулю.
Это означает, что должны одновременно выполняться два условия: $(x-1)^2 = 0$ и $(y-2)^2 = 0$.

Решим эти простые уравнения:
Из $(x-1)^2 = 0$ следует, что $x-1 = 0$, откуда $x = 1$.
Из $(y-2)^2 = 0$ следует, что $y-2 = 0$, откуда $y = 2$.
Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $(1; 2)$.

1112. Найдите корни уравнения $x^2 - 2x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} - 13 = 0$.

Исходное уравнение: $x^2 - 2x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} - 13 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \neq 0$.

Это возвратное уравнение. Для его решения сгруппируем члены с одинаковыми степенями $x$ и их обратными величинами:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - (2x + \frac{2}{x}) - 13 = 0$

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) - 13 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.

Теперь выразим $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$. Для этого возведем в квадрат выражение для $y$:

$y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Из этого следует, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим полученные выражения в сгруппированное уравнение:

$(y^2 - 2) - 2y - 13 = 0$

Упростим и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 2y - 15 = 0$

Используем теорему Виета: сумма корней равна 2, а их произведение равно -15. Следовательно, корни уравнения:

$y_1 = 5$ и $y_2 = -3$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $y$, чтобы найти корни исходного уравнения.

1. Рассмотрим случай $y = 5$:

$x + \frac{1}{x} = 5$

Умножим обе части уравнения на $x$ (помним, что $x \neq 0$):

$x^2 + 1 = 5x$

$x^2 - 5x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$

Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

2. Рассмотрим случай $y = -3$:

$x + \frac{1}{x} = -3$

Умножим обе части уравнения на $x$:

$x^2 + 1 = -3x$

$x^2 + 3x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$

Корни: $x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $\frac{5 + \sqrt{21}}{2}; \frac{5 - \sqrt{21}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.

1113. Найдите все двузначные числа $\overline{ab}$, где $b > a$, при которых значение дроби $\frac{\overline{ab}}{a+b}$ равно целому числу.

Обозначим двузначное число $\overline{ab}$ в виде алгебраической суммы $10a + b$, где $a$ - цифра десятков, а $b$ - цифра единиц.

По условию задачи, $a$ и $b$ являются цифрами, при этом $a$ не может быть нулем. Таким образом, $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ и $b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Также задано дополнительное условие $b > a$.

Значение дроби $\frac{\overline{ab}}{a+b}$ должно быть целым числом. Запишем это в виде уравнения: $$ \frac{10a + b}{a+b} = k $$ где $k$ - целое число.

Преобразуем левую часть уравнения, чтобы выделить целую часть: $$ \frac{10a + b}{a+b} = \frac{(a+b) + 9a}{a+b} = \frac{a+b}{a+b} + \frac{9a}{a+b} = 1 + \frac{9a}{a+b} $$

Для того чтобы выражение $1 + \frac{9a}{a+b}$ было целым числом, необходимо, чтобы дробь $\frac{9a}{a+b}$ также была целым числом. Это означает, что сумма цифр $(a+b)$ должна быть делителем числа $9a$.

Рассмотрим все возможные значения для $a$, учитывая условие $b > a$.

1. Пусть $a = 1$. Тогда $b > 1$, то есть $b \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Сумма $1+b$ должна быть делителем числа $9 \cdot 1 = 9$. Делители числа 9: 1, 3, 9. Так как $b > 1$, то $1+b > 2$.
- Если $1+b = 3$, то $b=2$. Условие $b>a$ (2>1) выполнено. Получаем число 12. Проверка: $\frac{12}{1+2} = \frac{12}{3} = 4$. Подходит.
- Если $1+b = 9$, то $b=8$. Условие $b>a$ (8>1) выполнено. Получаем число 18. Проверка: $\frac{18}{1+8} = \frac{18}{9} = 2$. Подходит.

2. Пусть $a = 2$. Тогда $b > 2$, то есть $b \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Сумма $2+b$ должна быть делителем числа $9 \cdot 2 = 18$. Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Так как $b > 2$, то $2+b > 4$.
- Если $2+b = 6$, то $b=4$. Условие $b>a$ (4>2) выполнено. Получаем число 24. Проверка: $\frac{24}{2+4} = \frac{24}{6} = 4$. Подходит.
- Если $2+b = 9$, то $b=7$. Условие $b>a$ (7>2) выполнено. Получаем число 27. Проверка: $\frac{27}{2+7} = \frac{27}{9} = 3$. Подходит.
- Если $2+b = 18$, то $b=16$, что не является цифрой.

3. Пусть $a = 3$. Тогда $b > 3$, то есть $b \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Сумма $3+b$ должна быть делителем числа $9 \cdot 3 = 27$. Делители числа 27: 1, 3, 9, 27. Так как $b > 3$, то $3+b > 6$.
- Если $3+b = 9$, то $b=6$. Условие $b>a$ (6>3) выполнено. Получаем число 36. Проверка: $\frac{36}{3+6} = \frac{36}{9} = 4$. Подходит.
- Если $3+b = 27$, то $b=24$, что не является цифрой.

4. Пусть $a = 4$. Тогда $b > 4$, то есть $b \in \{5, 6, 7, 8, 9\}$. Сумма $4+b$ должна быть делителем числа $9 \cdot 4 = 36$. Делители числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36. Так как $b > 4$, то $4+b > 8$.
- Если $4+b = 9$, то $b=5$. Условие $b>a$ (5>4) выполнено. Получаем число 45. Проверка: $\frac{45}{4+5} = \frac{45}{9} = 5$. Подходит.
- Если $4+b = 12$, то $b=8$. Условие $b>a$ (8>4) выполнено. Получаем число 48. Проверка: $\frac{48}{4+8} = \frac{48}{12} = 4$. Подходит.
- Если $4+b = 18$, то $b=14$, что не является цифрой.

5. Пусть $a = 5$. Тогда $b > 5$, то есть $b \in \{6, 7, 8, 9\}$. Сумма $5+b$ должна быть делителем числа $9 \cdot 5 = 45$. Делители числа 45: 1, 3, 5, 9, 15, 45. Так как $b > 5$, то $5+b > 10$.
- Если $5+b = 15$, то $b=10$, что не является цифрой. Других подходящих делителей нет.

6. Пусть $a = 6$. Тогда $b > 6$, то есть $b \in \{7, 8, 9\}$. Сумма $6+b$ должна быть делителем числа $9 \cdot 6 = 54$. Делители числа 54: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54. Так как $b > 6$, то $6+b > 12$.
- Если $6+b = 18$, то $b=12$, что не является цифрой. Других подходящих делителей нет.

7. Пусть $a = 7$. Тогда $b > 7$, то есть $b \in \{8, 9\}$. Сумма $7+b$ должна быть делителем числа $9 \cdot 7 = 63$. Делители числа 63: 1, 3, 7, 9, 21, 63. Так как $b > 7$, то $7+b > 14$.
- Если $7+b = 21$, то $b=14$, что не является цифрой. Других подходящих делителей нет.

8. Пусть $a = 8$. Тогда $b > 8$, то есть $b = 9$. Сумма $a+b = 8+9=17$. Число $9a = 9 \cdot 8 = 72$. Число 17 не является делителем 72. Решений нет.

9. Пусть $a = 9$. Тогда $b > 9$. Таких цифр $b$ не существует.

Таким образом, мы нашли все двузначные числа, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: 12, 18, 24, 27, 36, 45, 48.

1114. Найдите три различные обыкновенные дроби вида $ \frac{x}{x+1} $, сумма которых равна натуральному числу.

Пусть искомые три различные дроби имеют вид $\frac{x_1}{x_1+1}$, $\frac{x_2}{x_2+1}$ и $\frac{x_3}{x_3+1}$, где $x_1, x_2, x_3$ — различные натуральные числа. Их сумма должна быть равна натуральному числу $N$.

Запишем сумму этих дробей:$S = \frac{x_1}{x_1+1} + \frac{x_2}{x_2+1} + \frac{x_3}{x_3+1} = N$

Каждую дробь вида $\frac{x}{x+1}$ можно представить как $1 - \frac{1}{x+1}$. Тогда сумма примет вид:$S = \left(1 - \frac{1}{x_1+1}\right) + \left(1 - \frac{1}{x_2+1}\right) + \left(1 - \frac{1}{x_3+1}\right) = 3 - \left(\frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \frac{1}{x_3+1}\right)$

Поскольку $S = N$, мы получаем уравнение:$N = 3 - \left(\frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \frac{1}{x_3+1}\right)$$\frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \frac{1}{x_3+1} = 3 - N$

Поскольку $x_1, x_2, x_3$ — натуральные числа, то $x_i \ge 1$. Это означает, что каждая дробь $\frac{x_i}{x_i+1}$ положительна и меньше 1. Таким образом, их сумма $S$ удовлетворяет неравенству $0 < S < 3$. Следовательно, натуральное число $N$ может быть равно только 1 или 2.

Случай 1: $N=1$
В этом случае уравнение принимает вид:$\frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \frac{1}{x_3+1} = 3 - 1 = 2$Так как $x_i \ge 1$, то $x_i+1 \ge 2$, и, следовательно, $\frac{1}{x_i+1} \le \frac{1}{2}$.Тогда максимальное значение суммы трех таких дробей: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.Поскольку $1.5 < 2$, в этом случае решений в натуральных числах нет.

Случай 2: $N=2$
В этом случае уравнение принимает вид:$\frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \frac{1}{x_3+1} = 3 - 2 = 1$

Обозначим $a = x_1+1$, $b = x_2+1$, $c = x_3+1$. Так как $x_1, x_2, x_3$ — различные натуральные числа, то $a, b, c$ — различные целые числа, большие или равные 2.Задача сводится к решению уравнения в целых числах:$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$

Для поиска решения упорядочим переменные: пусть $2 \le a < b < c$. Тогда $\frac{1}{a} > \frac{1}{b} > \frac{1}{c}$.Из уравнения следует: $1 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{3}{a}$.Из неравенства $1 < \frac{3}{a}$ получаем $a < 3$. Поскольку $a \ge 2$, единственно возможное значение для $a$ — это $a=2$.

Подставим $a=2$ в уравнение:$\frac{1}{2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 \implies \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}$Применяя тот же метод для $b$ и $c$ (с учетом $2=a<b<c$):$\frac{1}{2} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{1}{b} + \frac{1}{b} = \frac{2}{b}$.Из неравенства $\frac{1}{2} < \frac{2}{b}$ получаем $b < 4$. Так как $b > a=2$, единственно возможное целое значение для $b$ — это $b=3$.

Подставим $b=3$:$\frac{1}{3} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2} \implies \frac{1}{c} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$Отсюда $c=6$.

Таким образом, мы нашли единственное (с точностью до перестановки) решение для $a, b, c$: это числа 2, 3 и 6. Теперь найдем соответствующие значения $x_1, x_2, x_3$:$x_1+1 = 2 \implies x_1 = 1$
$x_2+1 = 3 \implies x_2 = 2$
$x_3+1 = 6 \implies x_3 = 5$

Искомые дроби:
При $x=1$: $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$
При $x=2$: $\frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$
При $x=5$: $\frac{5}{5+1} = \frac{5}{6}$

Проверим их сумму:$S = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{3+4+5}{6} = \frac{12}{6} = 2$Сумма равна 2, что является натуральным числом.

Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{5}{6}$.