Номер 1114, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1114, страница 254.

1114. Найдите три различные обыкновенные дроби вида $ \frac{x}{x+1} $, сумма которых равна натуральному числу.

Пусть искомые три различные дроби имеют вид $\frac{x_1}{x_1+1}$, $\frac{x_2}{x_2+1}$ и $\frac{x_3}{x_3+1}$, где $x_1, x_2, x_3$ — различные натуральные числа. Их сумма должна быть равна натуральному числу $N$.

Запишем сумму этих дробей:$S = \frac{x_1}{x_1+1} + \frac{x_2}{x_2+1} + \frac{x_3}{x_3+1} = N$

Каждую дробь вида $\frac{x}{x+1}$ можно представить как $1 - \frac{1}{x+1}$. Тогда сумма примет вид:$S = \left(1 - \frac{1}{x_1+1}\right) + \left(1 - \frac{1}{x_2+1}\right) + \left(1 - \frac{1}{x_3+1}\right) = 3 - \left(\frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \frac{1}{x_3+1}\right)$

Поскольку $S = N$, мы получаем уравнение:$N = 3 - \left(\frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \frac{1}{x_3+1}\right)$$\frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \frac{1}{x_3+1} = 3 - N$

Поскольку $x_1, x_2, x_3$ — натуральные числа, то $x_i \ge 1$. Это означает, что каждая дробь $\frac{x_i}{x_i+1}$ положительна и меньше 1. Таким образом, их сумма $S$ удовлетворяет неравенству $0 < S < 3$. Следовательно, натуральное число $N$ может быть равно только 1 или 2.

Случай 1: $N=1$
В этом случае уравнение принимает вид:$\frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \frac{1}{x_3+1} = 3 - 1 = 2$Так как $x_i \ge 1$, то $x_i+1 \ge 2$, и, следовательно, $\frac{1}{x_i+1} \le \frac{1}{2}$.Тогда максимальное значение суммы трех таких дробей: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$.Поскольку $1.5 < 2$, в этом случае решений в натуральных числах нет.

Случай 2: $N=2$
В этом случае уравнение принимает вид:$\frac{1}{x_1+1} + \frac{1}{x_2+1} + \frac{1}{x_3+1} = 3 - 2 = 1$

Обозначим $a = x_1+1$, $b = x_2+1$, $c = x_3+1$. Так как $x_1, x_2, x_3$ — различные натуральные числа, то $a, b, c$ — различные целые числа, большие или равные 2.Задача сводится к решению уравнения в целых числах:$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$

Для поиска решения упорядочим переменные: пусть $2 \le a < b < c$. Тогда $\frac{1}{a} > \frac{1}{b} > \frac{1}{c}$.Из уравнения следует: $1 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{3}{a}$.Из неравенства $1 < \frac{3}{a}$ получаем $a < 3$. Поскольку $a \ge 2$, единственно возможное значение для $a$ — это $a=2$.

Подставим $a=2$ в уравнение:$\frac{1}{2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 \implies \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2}$Применяя тот же метод для $b$ и $c$ (с учетом $2=a<b<c$):$\frac{1}{2} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} < \frac{1}{b} + \frac{1}{b} = \frac{2}{b}$.Из неравенства $\frac{1}{2} < \frac{2}{b}$ получаем $b < 4$. Так как $b > a=2$, единственно возможное целое значение для $b$ — это $b=3$.

Подставим $b=3$:$\frac{1}{3} + \frac{1}{c} = \frac{1}{2} \implies \frac{1}{c} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3-2}{6} = \frac{1}{6}$Отсюда $c=6$.

Таким образом, мы нашли единственное (с точностью до перестановки) решение для $a, b, c$: это числа 2, 3 и 6. Теперь найдем соответствующие значения $x_1, x_2, x_3$:$x_1+1 = 2 \implies x_1 = 1$
$x_2+1 = 3 \implies x_2 = 2$
$x_3+1 = 6 \implies x_3 = 5$

Искомые дроби:
При $x=1$: $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$
При $x=2$: $\frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$
При $x=5$: $\frac{5}{5+1} = \frac{5}{6}$

Проверим их сумму:$S = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{3+4+5}{6} = \frac{12}{6} = 2$Сумма равна 2, что является натуральным числом.

Ответ: $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{5}{6}$.