Номер 1116, страница 255 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1116, страница 255.

1116. Найдите все целые значения функции

$y = \sqrt{12 + 2\sqrt{35 + 2x - x^2}} - \sqrt{12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2}}$

которые она принимает при целых $x$.

Для нахождения всех целых значений функции $y = \sqrt{12 + 2\sqrt{35 + 2x - x^2}} - \sqrt{12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2}}$ при целых значениях $x$, первым делом определим область допустимых значений (ОДЗ).

Выражения под знаками корней должны быть неотрицательными.
Во-первых, под внутренним корнем: $35 + 2x - x^2 \ge 0$. Это равносильно $x^2 - 2x - 35 \le 0$. Корнями квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 35$ являются $x_1 = -5$ и $x_2 = 7$. Так как парабола $f(x)=x^2-2x-35$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями: $-5 \le x \le 7$.

Во-вторых, под внешним корнем: $12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2} \ge 0$. Перенесем слагаемое и разделим на 2: $6 \ge \sqrt{35 + 2x - x^2}$. Так как обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат: $36 \ge 35 + 2x - x^2$, что приводит к неравенству $x^2 - 2x + 1 \ge 0$, или $(x-1)^2 \ge 0$. Это неравенство справедливо для любого действительного $x$.

Таким образом, область определения функции с учетом того, что $x$ — целое число, это множество $x \in \{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.

Теперь упростим выражение для $y$. Заметим, что $y$ является разностью $\sqrt{A} - \sqrt{B}$, где $A \ge B$, поэтому $y \ge 0$. Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:
$y^2 = \left( \sqrt{12 + 2\sqrt{35 + 2x - x^2}} - \sqrt{12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2}} \right)^2$
$y^2 = (12 + 2\sqrt{35 + 2x - x^2}) + (12 - 2\sqrt{35 + 2x - x^2}) - 2 \sqrt{(12 + 2\sqrt{35+2x-x^2})(12 - 2\sqrt{35+2x-x^2})}$
$y^2 = 24 - 2 \sqrt{12^2 - (2\sqrt{35 + 2x - x^2})^2}$
$y^2 = 24 - 2 \sqrt{144 - 4(35 + 2x - x^2)}$
$y^2 = 24 - 2 \sqrt{144 - 140 - 8x + 4x^2}$
$y^2 = 24 - 2 \sqrt{4x^2 - 8x + 4}$
$y^2 = 24 - 2 \sqrt{4(x^2 - 2x + 1)}$
$y^2 = 24 - 2 \cdot 2 |x - 1|$
$y^2 = 24 - 4|x - 1|$

Поскольку мы установили, что $y \ge 0$, то $y = \sqrt{24 - 4|x-1|} = \sqrt{4(6 - |x-1|)} = 2\sqrt{6 - |x-1|}$.

Мы ищем целые значения $y$ при целых $x$. Для того чтобы $y = 2\sqrt{6 - |x - 1|}$ было целым, необходимо, чтобы выражение $6 - |x - 1|$ являлось полным квадратом, так как $x$ — целое, а значит и $6 - |x - 1|$ — целое число.

Поскольку $x$ принимает целые значения из отрезка $[-5, 7]$, то $|x-1|$ принимает целые значения от $0$ (при $x=1$) до $6$ (при $x=-5$ и $x=7$). Соответственно, выражение $6 - |x-1|$ принимает целые значения от $0$ до $6$.

Найдём, какие из этих значений являются полными квадратами. В диапазоне $[0, 6]$ это числа $0, 1, 4$. Рассмотрим каждый случай:
1. Если $6 - |x - 1| = 0$, то $|x - 1| = 6$. Это происходит при $x = 7$ или $x = -5$. В этом случае $y = 2\sqrt{0} = 0$.
2. Если $6 - |x - 1| = 1$, то $|x - 1| = 5$. Это происходит при $x = 6$ или $x = -4$. В этом случае $y = 2\sqrt{1} = 2$.
3. Если $6 - |x - 1| = 4$, то $|x - 1| = 2$. Это происходит при $x = 3$ или $x = -1$. В этом случае $y = 2\sqrt{4} = 4$.

Таким образом, функция принимает целые значения 0, 2 и 4 при целых значениях $x$.

Ответ: 0, 2, 4.