Номер 1112, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1112, страница 254.

1112. Найдите корни уравнения $x^2 - 2x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} - 13 = 0$.

Исходное уравнение: $x^2 - 2x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} - 13 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \neq 0$.

Это возвратное уравнение. Для его решения сгруппируем члены с одинаковыми степенями $x$ и их обратными величинами:

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - (2x + \frac{2}{x}) - 13 = 0$

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) - 2(x + \frac{1}{x}) - 13 = 0$

Введем новую переменную. Пусть $y = x + \frac{1}{x}$.

Теперь выразим $x^2 + \frac{1}{x^2}$ через $y$. Для этого возведем в квадрат выражение для $y$:

$y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

Из этого следует, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

Подставим полученные выражения в сгруппированное уравнение:

$(y^2 - 2) - 2y - 13 = 0$

Упростим и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 2y - 15 = 0$

Используем теорему Виета: сумма корней равна 2, а их произведение равно -15. Следовательно, корни уравнения:

$y_1 = 5$ и $y_2 = -3$.

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $y$, чтобы найти корни исходного уравнения.

1. Рассмотрим случай $y = 5$:

$x + \frac{1}{x} = 5$

Умножим обе части уравнения на $x$ (помним, что $x \neq 0$):

$x^2 + 1 = 5x$

$x^2 - 5x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 25 - 4 = 21$

Корни: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$.

2. Рассмотрим случай $y = -3$:

$x + \frac{1}{x} = -3$

Умножим обе части уравнения на $x$:

$x^2 + 1 = -3x$

$x^2 + 3x + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5$

Корни: $x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Таким образом, уравнение имеет четыре действительных корня.

Ответ: $\frac{5 + \sqrt{21}}{2}; \frac{5 - \sqrt{21}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{5}}{2}; \frac{-3 - \sqrt{5}}{2}$.