Номер 1111, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1111, страница 254.

1111. Решите уравнение $x^2 - 2x + y^2 - 4y + 5 = 0$.

Для решения данного уравнения сгруппируем слагаемые, содержащие переменную $x$ и переменную $y$, и применим метод выделения полного квадрата. Исходное уравнение: $x^2 - 2x + y^2 - 4y + 5 = 0$.

Сгруппируем члены уравнения по переменным: $(x^2 - 2x) + (y^2 - 4y) + 5 = 0$.

Теперь выделим полный квадрат для выражения с $x$. Используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, мы видим, что для выражения $x^2 - 2x$ не хватает слагаемого $1^2=1$. Добавим и вычтем 1, чтобы не изменить выражение: $x^2 - 2x = (x^2 - 2x + 1) - 1 = (x-1)^2 - 1$.

Аналогично поступим с выражением, содержащим $y$. Для $y^2 - 4y$ не хватает слагаемого $2^2=4$. Добавим и вычтем 4: $y^2 - 4y = (y^2 - 4y + 4) - 4 = (y-2)^2 - 4$.

Подставим полученные выражения обратно в исходное уравнение: $((x-1)^2 - 1) + ((y-2)^2 - 4) + 5 = 0$.

Упростим уравнение, раскрыв скобки и сгруппировав числовые слагаемые: $(x-1)^2 - 1 + (y-2)^2 - 4 + 5 = 0$
$(x-1)^2 + (y-2)^2 - 5 + 5 = 0$
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 0$.

В результате мы получили уравнение, в котором сумма двух квадратов равна нулю. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (то есть, $(x-1)^2 \ge 0$ и $(y-2)^2 \ge 0$), их сумма может быть равна нулю только в том единственном случае, когда каждое из слагаемых равно нулю.
Это означает, что должны одновременно выполняться два условия: $(x-1)^2 = 0$ и $(y-2)^2 = 0$.

Решим эти простые уравнения:
Из $(x-1)^2 = 0$ следует, что $x-1 = 0$, откуда $x = 1$.
Из $(y-2)^2 = 0$ следует, что $y-2 = 0$, откуда $y = 2$.
Следовательно, данное уравнение имеет единственное решение.
Ответ: $(1; 2)$.