Номер 1107, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1107, страница 254.

1107. Решите систему уравнений:

$\begin{cases}x + y + z + u = 5, \\y + z + u + v = 1, \\z + u + v + x = 2, \\u + v + x + y = 0, \\v + x + y + z = 4.\end{cases}$

Для решения данной системы уравнений, состоящей из пяти уравнений с пятью неизвестными ($x, y, z, u, v$), можно заметить ее симметричную структуру. В каждом уравнении отсутствует одна из переменных. Это наблюдение позволяет использовать эффективный метод решения.

1. Введем вспомогательную переменную $S$, равную сумме всех неизвестных:

$S = x + y + z + u + v$

2. Теперь перепишем каждое уравнение исходной системы, выражая левую часть через $S$. Для этого к левой и правой части каждого уравнения можно добавить недостающую переменную, но проще заметить, что левая часть каждого уравнения равна $S$ минус недостающая переменная.

Из первого уравнения: $x + y + z + u = 5 \implies S - v = 5$
Из второго уравнения: $y + z + u + v = 1 \implies S - x = 1$
Из третьего уравнения: $z + u + v + x = 2 \implies S - y = 2$
Из четвертого уравнения: $u + v + x + y = 0 \implies S - z = 0$
Из пятого уравнения: $v + x + y + z = 4 \implies S - u = 4$

3. Из полученной системы уравнений выразим каждую переменную через $S$:

$v = S - 5$
$x = S - 1$
$y = S - 2$
$z = S - 0 = S$
$u = S - 4$

4. Подставим полученные выражения для $x, y, z, u, v$ в уравнение $S = x + y + z + u + v$:

$S = (S - 1) + (S - 2) + S + (S - 4) + (S - 5)$

5. Решим это уравнение относительно $S$:

$S = 5S - (1 + 2 + 4 + 5)$

$S = 5S - 12$

$4S = 12$

$S = \frac{12}{4} = 3$

6. Теперь, когда значение $S$ найдено, мы можем вычислить значения всех исходных переменных:

$x = S - 1 = 3 - 1 = 2$

$y = S - 2 = 3 - 2 = 1$

$z = S = 3$

$u = S - 4 = 3 - 4 = -1$

$v = S - 5 = 3 - 5 = -2$

Для проверки можно подставить найденные значения в любое из исходных уравнений. Например, для первого уравнения: $x + y + z + u = 2 + 1 + 3 + (-1) = 5$. Равенство выполняется.

Ответ: $x=2, \ y=1, \ z=3, \ u=-1, \ v=-2$.