Номер 1109, страница 254 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1109, страница 254.

1109. Найдите обыкновенную дробь со знаменателем 21, заключённую между дробями $\frac{5}{14}$ и $\frac{5}{12}$.

Пусть искомая дробь имеет вид $\frac{x}{21}$, где $x$ — целое число. Согласно условию задачи, эта дробь должна находиться между дробями $\frac{5}{14}$ и $\frac{5}{12}$. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$\frac{5}{14} < \frac{x}{21} < \frac{5}{12}$

Для решения этого неравенства необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 14, 21 и 12.

Разложим знаменатели на простые множители:
$14 = 2 \cdot 7$
$21 = 3 \cdot 7$
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

Наименьшее общее кратное будет произведением всех простых множителей в их наивысших степенях:
НОК(14, 21, 12) = $2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$.

Теперь приведем каждую дробь в неравенстве к знаменателю 84, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:
$\frac{5}{14} = \frac{5 \cdot 6}{14 \cdot 6} = \frac{30}{84}$
$\frac{x}{21} = \frac{x \cdot 4}{21 \cdot 4} = \frac{4x}{84}$
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 7}{12 \cdot 7} = \frac{35}{84}$

Подставим полученные дроби обратно в исходное неравенство:
$\frac{30}{84} < \frac{4x}{84} < \frac{35}{84}$

Поскольку знаменатели всех дробей равны, мы можем перейти к неравенству для их числителей:
$30 < 4x < 35$

Чтобы найти $x$, разделим все части этого неравенства на 4:
$\frac{30}{4} < x < \frac{35}{4}$
Переведем дроби в десятичный вид для наглядности:
$7.5 < x < 8.75$

Так как числитель $x$ должен быть целым числом, то единственное целое число, которое удовлетворяет данному неравенству, — это $x=8$.

Следовательно, искомая обыкновенная дробь со знаменателем 21 — это $\frac{8}{21}$.

Ответ: $\frac{8}{21}$