Номер 1115, страница 255 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1115, страница 255.

1115. Найдите целые значения x, при которых функция

$y = \sqrt{20 + 2\sqrt{91 + 6x - x^2}} - \sqrt{20 - 2\sqrt{91 + 6x - x^2}}$

принимает целые значения.

Для того чтобы функция $y$ была определена, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Это задает область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

1. Внутренний корень: $91 + 6x - x^2 \ge 0$.

Умножим неравенство на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного трехчлена: $x^2 - 6x - 91 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 91 = 0$ через дискриминант:$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(-91) = 36 + 364 = 400 = 20^2$.

Корни $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm 20}{2}$.

$x_1 = \frac{6 - 20}{2} = -7$, $x_2 = \frac{6 + 20}{2} = 13$.

Парабола $f(x) = x^2 - 6x - 91$ с ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 6x - 91 \le 0$ выполняется между корнями: $x \in [-7, 13]$.

2. Внешний корень (уменьшаемое неотрицательно всегда, проверим вычитаемое): $20 - 2\sqrt{91 + 6x - x^2} \ge 0$.

$20 \ge 2\sqrt{91 + 6x - x^2}$

$10 \ge \sqrt{91 + 6x - x^2}$

Так как обе части неравенства неотрицательны, можно возвести их в квадрат:

$100 \ge 91 + 6x - x^2$

$x^2 - 6x + 9 \ge 0$

$(x-3)^2 \ge 0$

Это неравенство верно для любого действительного $x$.

Итак, ОДЗ для $x$ — это отрезок $[-7, 13]$. По условию задачи, $x$ должен быть целым числом.

Теперь упростим выражение для функции $y$. Заметим, что первый корень не меньше второго, поэтому $y \ge 0$. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$y^2 = \left(\sqrt{20 + 2\sqrt{91 + 6x - x^2}} - \sqrt{20 - 2\sqrt{91 + 6x - x^2}}\right)^2$

$y^2 = (20 + 2\sqrt{91 + 6x - x^2}) - 2\sqrt{(20 + 2\sqrt{...})(20 - 2\sqrt{...})} + (20 - 2\sqrt{91 + 6x - x^2})$

$y^2 = 40 - 2\sqrt{20^2 - (2\sqrt{91 + 6x - x^2})^2}$

$y^2 = 40 - 2\sqrt{400 - 4(91 + 6x - x^2)}$

$y^2 = 40 - 2\sqrt{400 - 364 - 24x + 4x^2}$

$y^2 = 40 - 2\sqrt{36 - 24x + 4x^2}$

Вынесем 4 из-под корня:

$y^2 = 40 - 2\sqrt{4(9 - 6x + x^2)}$

$y^2 = 40 - 2 \cdot 2\sqrt{(x-3)^2}$

$y^2 = 40 - 4|x-3|$

Поскольку $y \ge 0$, то $y = \sqrt{40 - 4|x-3|}$.

Мы ищем целые значения $x$, при которых $y$ также принимает целые значения. Пусть $y = k$, где $k$ — целое неотрицательное число.

$k^2 = 40 - 4|x-3|$

$k^2 = 4(10 - |x-3|)$

Из этого уравнения следует, что $k^2$ должно быть полным квадратом, делящимся на 4. Это означает, что $10 - |x-3|$ также должно быть полным квадратом. Обозначим $10 - |x-3| = m^2$, где $m$ — целое неотрицательное число.

Поскольку $x$ — целое число из отрезка $[-7, 13]$, то $|x-3|$ — целое число из отрезка $[0, 10]$. Следовательно, $m^2 = 10 - |x-3|$ может принимать значения $0, 1, 4, 9$.

Рассмотрим каждый случай:

1. $10 - |x-3| = 0 \implies |x-3| = 10$. Отсюда $x-3 = 10$ или $x-3 = -10$. Получаем $x=13$ и $x=-7$.

2. $10 - |x-3| = 1 \implies |x-3| = 9$. Отсюда $x-3 = 9$ или $x-3 = -9$. Получаем $x=12$ и $x=-6$.

3. $10 - |x-3| = 4 \implies |x-3| = 6$. Отсюда $x-3 = 6$ или $x-3 = -6$. Получаем $x=9$ и $x=-3$.

4. $10 - |x-3| = 9 \implies |x-3| = 1$. Отсюда $x-3 = 1$ или $x-3 = -1$. Получаем $x=4$ и $x=2$.

Все найденные значения $x$ являются целыми и лежат в области допустимых значений.

Ответ: -7, -6, -3, 2, 4, 9, 12, 13.