Номер 1122, страница 255 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1122, страница 255.

1122. Пара чисел $x = 3, y = 2$ является решением уравнения $(x + y\sqrt{2})(x - y\sqrt{2})=1$. Покажите, что существует бесконечно много других пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению.

Данное уравнение $(x + y\sqrt{2})(x - y\sqrt{2}) = 1$ можно упростить, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Применим ее к левой части уравнения, где $a = x$ и $b = y\sqrt{2}$:

$x^2 - (y\sqrt{2})^2 = 1$

$x^2 - 2y^2 = 1$

Это диофантово уравнение, известное как уравнение Пелля. Нам дано, что пара натуральных чисел $x = 3, y = 2$ является решением. Проверим это, подставив значения в преобразованное уравнение:

$3^2 - 2 \cdot 2^2 = 9 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$.

Равенство верно, значит, пара $(3, 2)$ действительно является решением.

Для доказательства существования бесконечного множества других пар натуральных чисел, являющихся решениями, воспользуемся свойством уравнения Пелля. Если $(x_1, y_1)$ — это какое-либо натуральное решение уравнения $x^2 - Dy^2 = 1$ (где $D$ — не является полным квадратом), то бесконечное множество других решений $(x_n, y_n)$ можно получить из следующего соотношения:

$x_n + y_n\sqrt{D} = (x_1 + y_1\sqrt{D})^n$, где $n$ — любое натуральное число.

В нашем случае $D=2$, а начальное решение $(x_1, y_1) = (3, 2)$. Таким образом, мы можем утверждать, что новые решения $(x_n, y_n)$ будут генерироваться формулой:

$x_n + y_n\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^n$

Давайте докажем, что любая пара $(x_n, y_n)$, полученная таким образом, удовлетворяет исходному уравнению. Для этого рассмотрим также сопряженное выражение: $x_n - y_n\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2})^n$. Перемножив эти два равенства, получим:

$(x_n + y_n\sqrt{2})(x_n - y_n\sqrt{2}) = (3 + 2\sqrt{2})^n(3 - 2\sqrt{2})^n$

$x_n^2 - 2y_n^2 = ((3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}))^n$

$x_n^2 - 2y_n^2 = (3^2 - (2\sqrt{2})^2)^n = (9 - 8)^n = 1^n = 1$.

Это доказывает, что для любого натурального $n$ пара чисел $(x_n, y_n)$ является решением уравнения $x^2 - 2y^2 = 1$.

Теперь необходимо показать, что $x_n$ и $y_n$ являются натуральными числами для любого натурального $n$ и что все эти пары различны.

Рассмотрим несколько первых значений $n$:

При $n=1$: $x_1 + y_1\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^1$, что дает нам исходное решение $(x_1, y_1) = (3, 2)$.

При $n=2$: $x_2 + y_2\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot (2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}$. Отсюда получаем новое решение $(x_2, y_2) = (17, 12)$. Оба числа являются натуральными.

При $n=3$: $x_3 + y_3\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^3 = (17 + 12\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 51 + 34\sqrt{2} + 36\sqrt{2} + 48 = 99 + 70\sqrt{2}$. Новое решение: $(x_3, y_3) = (99, 70)$.

В общем виде, если мы имеем решение $(x_k, y_k)$, то следующее решение $(x_{k+1}, y_{k+1})$ можно найти так: $x_{k+1} + y_{k+1}\sqrt{2} = (x_k + y_k\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = (3x_k + 4y_k) + (2x_k + 3y_k)\sqrt{2}$. Отсюда $x_{k+1} = 3x_k + 4y_k$ и $y_{k+1} = 2x_k + 3y_k$.

Поскольку мы начинаем с натуральных чисел $x_1=3, y_1=2$, и на каждом шаге новые $x_{k+1}, y_{k+1}$ получаются путем сложения и умножения предыдущих натуральных чисел, все $x_n$ и $y_n$ будут натуральными.

Кроме того, поскольку $x_{k+1} > x_k$ и $y_{k+1} > y_k$ для всех $k \ge 1$, каждая новая пара $(x_n, y_n)$ будет отличаться от всех предыдущих. Это означает, что для каждого натурального $n$ мы получаем уникальное решение.

Так как множество натуральных чисел $n$ бесконечно, мы можем сгенерировать бесконечное число различных пар натуральных чисел $(x_n, y_n)$, удовлетворяющих данному уравнению.

Ответ: Показано, что исходное уравнение эквивалентно уравнению Пелля $x^2 - 2y^2 = 1$. На основе начального решения $(3, 2)$ можно построить бесконечную последовательность различных решений $(x_n, y_n)$, где $x_n$ и $y_n$ определяются из соотношения $x_n + y_n\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^n$ для всех натуральных $n \ge 1$. Поскольку для каждого натурального $n$ получаются новые пары натуральных чисел, то существует бесконечно много пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению.