Номер 1127, страница 256 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1127, страница 256.

1127. При каком значении $a$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 + (a - 1)x - 2a = 0$ равна 9?

Дано квадратное уравнение $x^2 + (a - 1)x - 2a = 0$.
Для того чтобы уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (a-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a) = a^2 - 2a + 1 + 8a = a^2 + 6a + 1$.
Следовательно, для существования корней должно выполняться неравенство: $a^2 + 6a + 1 \ge 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни данного уравнения. Воспользуемся теоремой Виета:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(a-1) = 1 - a$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -2a$.

По условию задачи, сумма квадратов корней равна 9: $x_1^2 + x_2^2 = 9$.
Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение, используя формулу $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим выражения из теоремы Виета и заданное условие в эту формулу:
$9 = (1 - a)^2 - 2(-2a)$.
Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:
$9 = (a^2 - 2a + 1) + 4a$
$9 = a^2 + 2a + 1$
$a^2 + 2a - 8 = 0$.

Это новое квадратное уравнение относительно $a$. Найдем его корни, например, с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Сумма корней равна -2, а произведение равно -8. Этим условиям удовлетворяют числа $2$ и $-4$.
Получаем два возможных значения для параметра $a$: $a_1 = 2$ и $a_2 = -4$.

Теперь вернемся к условию существования корней исходного уравнения ($a^2 + 6a + 1 \ge 0$) и проверим каждое из найденных значений $a$.
1. Проверка для $a = 2$:
$2^2 + 6(2) + 1 = 4 + 12 + 1 = 17$.
$17 \ge 0$, следовательно, условие выполняется. Значение $a=2$ является решением.
2. Проверка для $a = -4$:
$(-4)^2 + 6(-4) + 1 = 16 - 24 + 1 = -7$.
$-7 < 0$, следовательно, условие не выполняется. При $a = -4$ исходное уравнение не имеет действительных корней, поэтому это значение не является решением задачи.

Таким образом, единственное значение параметра $a$, удовлетворяющее условию задачи, это $a=2$.
Ответ: $a=2$.