Номер 1130, страница 256 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1130, страница 256.

1130. Из города $M$ в город $N$ вышел автобус со скоростью 40 км/ч. Через четверть часа он встретил ехавшую из города $N$ легковую автомашину. Эта машина доехала до города $M$, через 15 мин выехала обратно в город $N$ и обогнала автобус в 20 км от города $N$. Найдите расстояние между городами $M$ и $N$, если скорость легковой автомашины 50 км/ч.

Для решения задачи введем переменные и определим систему отсчета.

Пусть расстояние между городами М и N равно $S$ км. Скорость автобуса $v_а = 40$ км/ч. Скорость легковой автомашины $v_м = 50$ км/ч.

Примем город М за начало координат (точка 0), а направление движения от М к N — за положительное направление оси. Время будем отсчитывать с момента выезда автобуса из города М ($t=0$).

1. Определение точки и времени первой встречи.

Автобус выехал из М в $t=0$. Его координата в любой момент времени $t$ описывается уравнением $x_а(t) = v_а \cdot t = 40t$.

По условию, автобус встретил легковую машину через четверть часа, то есть в момент времени $t_1 = 1/4$ ч = 0,25 ч.

Найдем координату места встречи. Это будет расстояние, которое проехал автобус за 0,25 часа: $x_{встречи} = 40 \text{ км/ч} \cdot 0.25 \text{ ч} = 10$ км.

Итак, первая встреча произошла на расстоянии 10 км от города М.

2. Анализ движения легковой машины после первой встречи.

В момент встречи $t_1 = 0.25$ ч машина находилась на расстоянии 10 км от города М. Она продолжила движение в город М.

Время, которое потребовалось машине, чтобы доехать до города М, составляет: $t_{м \to М} = \frac{10 \text{ км}}{50 \text{ км/ч}} = 0.2$ ч.

Машина прибыла в город М в момент времени: $t_{прибытия} = t_1 + t_{м \to М} = 0.25 \text{ ч} + 0.2 \text{ ч} = 0.45$ ч.

В городе М машина стояла 15 минут, что равно $15/60 = 1/4 = 0.25$ часа.

Машина выехала из города М обратно в город N в момент времени: $t_{выезда} = t_{прибытия} + 0.25 \text{ ч} = 0.45 \text{ ч} + 0.25 \text{ ч} = 0.7$ ч.

3. Определение точки и времени обгона.

После выезда из города М в $t=0.7$ ч, координата машины в любой последующий момент времени $t$ (где $t \ge 0.7$) описывается уравнением: $x_м(t) = v_м \cdot (t - 0.7) = 50(t - 0.7)$.

Координата автобуса, который все это время продолжал движение из М, по-прежнему описывается уравнением $x_а(t) = 40t$.

Машина обогнала автобус в 20 км от города N. Это означает, что координата точки обгона (отсчитываемая от города М) равна $S - 20$ км.

Пусть обгон произошел в момент времени $t_{обгона}$. В этот момент времени координаты автобуса и машины равны $S - 20$. Составим систему уравнений:

1) Для автобуса: $40 \cdot t_{обгона} = S - 20$

2) Для машины: $50(t_{обгона} - 0.7) = S - 20$

4. Решение системы уравнений.

Из первого уравнения выразим время обгона: $t_{обгона} = \frac{S - 20}{40}$.

Подставим это выражение во второе уравнение: $50\left(\frac{S - 20}{40} - 0.7\right) = S - 20$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $S$: $\frac{50}{40}(S - 20) - 50 \cdot 0.7 = S - 20$

$\frac{5}{4}(S - 20) - 35 = S - 20$

Перенесем слагаемые с $S$ в одну сторону, а числовые значения в другую: $\frac{5}{4}(S - 20) - (S - 20) = 35$

$\left(\frac{5}{4} - 1\right)(S - 20) = 35$

$\frac{1}{4}(S - 20) = 35$

$S - 20 = 35 \cdot 4$

$S - 20 = 140$

$S = 140 + 20$

$S = 160$

Таким образом, расстояние между городами М и N составляет 160 км.

Ответ: Расстояние между городами М и N равно 160 км.