Номер 1135, страница 256 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1135, страница 256.

1135. Из А в В и из В в А выехали одновременно два мотоциклиста. Первый прибыл в В через 2,5 ч после встречи, а второй прибыл в А через 1,6 ч после встречи. Сколько часов был в пути каждый мотоциклист?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_1$ – скорость первого мотоциклиста, который ехал из пункта А в пункт В.
• $v_2$ – скорость второго мотоциклиста, который ехал из пункта В в пункт А.
• $t$ – время (в часах), которое прошло с момента их выезда до момента встречи.

До момента встречи первый мотоциклист проехал расстояние, равное $v_1 \cdot t$. Это та часть пути, которую второму мотоциклисту осталось проехать после встречи.

Аналогично, до момента встречи второй мотоциклист проехал расстояние, равное $v_2 \cdot t$. Это та часть пути, которую первому мотоциклисту осталось проехать после встречи.

Из условия задачи известно, что первый мотоциклист прибыл в В через 2,5 часа после встречи. Это означает, что он проехал расстояние $v_2 \cdot t$ за 2,5 часа. Можем записать первое уравнение:

$v_1 \cdot 2,5 = v_2 \cdot t$

Также известно, что второй мотоциклист прибыл в А через 1,6 часа после встречи. Это означает, что он проехал расстояние $v_1 \cdot t$ за 1,6 часа. Можем записать второе уравнение:

$v_2 \cdot 1,6 = v_1 \cdot t$

Мы получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными ($v_1$, $v_2$, $t$). Однако нам не нужно находить сами скорости, а достаточно найти их отношение.

Из первого уравнения выразим отношение $\frac{v_1}{v_2}$:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{t}{2,5}$

Из второго уравнения также выразим отношение $\frac{v_1}{v_2}$:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1,6}{t}$

Теперь мы можем приравнять правые части этих двух выражений, так как их левые части равны:

$\frac{t}{2,5} = \frac{1,6}{t}$

Решим это уравнение относительно $t$. Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$t \cdot t = 2,5 \cdot 1,6$

$t^2 = 4$

$t = \sqrt{4} = 2$ (время не может быть отрицательным).

Итак, мотоциклисты встретились через 2 часа после выезда.

Теперь найдем общее время, которое каждый мотоциклист был в пути. Общее время в пути складывается из времени до встречи и времени после встречи.

Общее время в пути для первого мотоциклиста:

$T_1 = t + 2,5 = 2 + 2,5 = 4,5$ часа.

Общее время в пути для второго мотоциклиста:

$T_2 = t + 1,6 = 2 + 1,6 = 3,6$ часа.

Ответ: первый мотоциклист был в пути 4,5 часа, а второй мотоциклист — 3,6 часа.