Номер 1142, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1142, страница 257.

1142. Докажите, что если $a + c = 2b$ и $2bd = c(b + d)$, причём $b \neq 0$ и $d \neq 0$, то $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

По условию задачи нам даны два равенства: $a + c = 2b$ и $2bd = c(b + d)$, причём $b \neq 0$ и $d \neq 0$. Требуется доказать, что $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

Начнём с преобразования первого равенства $a + c = 2b$. Умножим обе части этого равенства на $d$. Так как по условию $d \neq 0$, это является равносильным преобразованием.

$(a + c)d = 2bd$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$ad + cd = 2bd$

Теперь воспользуемся вторым данным нам равенством $2bd = c(b + d)$. Подставим выражение $c(b + d)$ вместо $2bd$ в полученное нами уравнение:

$ad + cd = c(b + d)$

Раскроем скобки в правой части:

$ad + cd = cb + cd$

Теперь вычтем из обеих частей уравнения слагаемое $cd$:

$ad = cb$

Поскольку по условию $b \neq 0$ и $d \neq 0$, мы имеем право разделить обе части равенства $ad = cb$ на произведение $bd$.

$\frac{ad}{bd} = \frac{cb}{bd}$

Сократив дроби в левой и правой частях, получим:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Таким образом, мы доказали требуемое утверждение.

Ответ: Утверждение доказано.