Номер 1147, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1147, страница 257.

1147. Постройте график функции:

a) $y = \frac{2x + 3}{x}$;

б) $y = \frac{4 - 5x}{x}$;

в) $y = \frac{12}{x - 4}$;

г) $y = -\frac{6}{x + 3}$.

а) $y = \frac{2x + 3}{x}$

Для построения графика преобразуем данную функцию, выделив целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель почленно:

$y = \frac{2x}{x} + \frac{3}{x} = 2 + \frac{3}{x}$

Итак, мы получили функцию $y = \frac{3}{x} + 2$. Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x_0} + y_0$, где $k=3$, а смещение происходит по оси ординат на 2 единицы вверх.

График этой функции – гипербола. Его можно получить из графика базовой функции $y = \frac{3}{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) на 2 единицы вверх вдоль оси Oy.

Асимптоты графика:
Вертикальная асимптота: $x = 0$ (так как при $x=0$ знаменатель обращается в ноль).
Горизонтальная асимптота: $y = 2$ (результат сдвига).

Поскольку $k=3 > 0$, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях относительно новой системы координат, образованной асимптотами.

Найдем точки для построения. Вычислим значения функции для нескольких значений аргумента:
при $x = 1$, $y = \frac{3}{1} + 2 = 5$
при $x = 3$, $y = \frac{3}{3} + 2 = 3$
при $x = -1$, $y = \frac{3}{-1} + 2 = -1$
при $x = -3$, $y = \frac{3}{-3} + 2 = 1$
Найдем точку пересечения с осью Ox (при $y=0$):
$0 = \frac{3}{x} + 2 \implies \frac{3}{x} = -2 \implies x = -1.5$. Точка $(-1.5; 0)$.

Ответ: График функции $y = \frac{2x+3}{x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{3}{x}$ на 2 единицы вверх. Асимптоты: прямые $x=0$ и $y=2$. Ветви расположены в первом и третьем "квадрантах" относительно системы координат, образованной асимптотами.

б) $y = \frac{4 - 5x}{x}$

Преобразуем данную функцию, выделив целую часть:

$y = \frac{4}{x} - \frac{5x}{x} = \frac{4}{x} - 5$

Мы получили функцию $y = \frac{4}{x} - 5$. Это функция вида $y = \frac{k}{x} + y_0$, где $k=4$, а смещение происходит по оси ординат на 5 единиц вниз.

График этой функции – гипербола, полученная из графика функции $y = \frac{4}{x}$ путем параллельного переноса на 5 единиц вниз вдоль оси Oy.

Асимптоты графика:
Вертикальная асимптота: $x = 0$.
Горизонтальная асимптота: $y = -5$.

Поскольку $k=4 > 0$, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях относительно новой системы координат с центром в точке $(0; -5)$.

Вычислим значения функции для нескольких значений аргумента:
при $x = 1$, $y = \frac{4}{1} - 5 = -1$
при $x = 2$, $y = \frac{4}{2} - 5 = -3$
при $x = -1$, $y = \frac{4}{-1} - 5 = -9$
при $x = -2$, $y = \frac{4}{-2} - 5 = -7$
Найдем точку пересечения с осью Ox (при $y=0$):
$0 = \frac{4}{x} - 5 \implies \frac{4}{x} = 5 \implies x = 0.8$. Точка $(0.8; 0)$.

Ответ: График функции $y = \frac{4-5x}{x}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{4}{x}$ на 5 единиц вниз. Асимптоты: прямые $x=0$ и $y=-5$. Ветви расположены в первом и третьем "квадрантах" относительно системы координат, образованной асимптотами.

в) $y = \frac{12}{x - 4}$

Данная функция уже представлена в виде $y = \frac{k}{x - x_0}$, где $k=12$, а смещение происходит по оси абсцисс на 4 единицы вправо.

График этой функции – гипербола. Его можно получить из графика базовой функции $y = \frac{12}{x}$ путем параллельного переноса на 4 единицы вправо вдоль оси Ox.

Асимптоты графика:
Вертикальная асимптота: $x = 4$ (значение, при котором знаменатель равен нулю).
Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox).

Так как $k=12 > 0$, ветви гиперболы располагаются в I и III координатных четвертях относительно новой системы координат с центром в точке $(4; 0)$.

Вычислим значения функции для нескольких значений аргумента:
при $x = 6$, $y = \frac{12}{6 - 4} = 6$
при $x = 8$, $y = \frac{12}{8 - 4} = 3$
при $x = 2$, $y = \frac{12}{2 - 4} = -6$
при $x = 0$, $y = \frac{12}{0 - 4} = -3$ (точка пересечения с осью Oy).

Ответ: График функции $y = \frac{12}{x-4}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = \frac{12}{x}$ на 4 единицы вправо. Асимптоты: прямые $x=4$ и $y=0$. Ветви расположены в первом и третьем "квадрантах" относительно системы координат, образованной асимптотами.

г) $y = -\frac{6}{x + 3}$

Функцию можно представить в виде $y = \frac{-6}{x - (-3)}$. Это функция вида $y = \frac{k}{x - x_0}$, где $k=-6$, а смещение происходит по оси абсцисс на 3 единицы влево.

График этой функции – гипербола. Его можно получить из графика базовой функции $y = \frac{-6}{x}$ путем параллельного переноса на 3 единицы влево вдоль оси Ox.

Асимптоты графика:
Вертикальная асимптота: $x = -3$.
Горизонтальная асимптота: $y = 0$ (ось Ox).

Так как $k=-6 < 0$, ветви гиперболы располагаются во II и IV координатных четвертях относительно новой системы координат с центром в точке $(-3; 0)$.

Вычислим значения функции для нескольких значений аргумента:
при $x = -2$, $y = -\frac{6}{-2 + 3} = -6$
при $x = 0$, $y = -\frac{6}{0 + 3} = -2$ (точка пересечения с осью Oy).
при $x = -4$, $y = -\frac{6}{-4 + 3} = 6$
при $x = -5$, $y = -\frac{6}{-5 + 3} = 3$.

Ответ: График функции $y = -\frac{6}{x+3}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = -\frac{6}{x}$ на 3 единицы влево. Асимптоты: прямые $x=-3$ и $y=0$. Ветви расположены во втором и четвертом "квадрантах" относительно системы координат, образованной асимптотами.