Номер 1148, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1148, страница 257.

1148. Докажите, что графиком уравнения $xy - 2x + 3y - 6 = 0$ является пара пересекающихся прямых.

Для того чтобы доказать, что график уравнения $xy - 2x + 3y - 6 = 0$ является парой пересекающихся прямых, необходимо преобразовать данное уравнение методом разложения на множители.

Сгруппируем слагаемые в левой части уравнения:

$(xy - 2x) + (3y - 6) = 0$

Вынесем общие множители за скобки из каждой группы:

$x(y - 2) + 3(y - 2) = 0$

Теперь мы видим общий множитель $(y - 2)$, который также можно вынести за скобку:

$(x + 3)(y - 2) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, исходное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

$x + 3 = 0$ или $y - 2 = 0$

Каждое из этих уравнений является уравнением прямой на координатной плоскости:

1. $x + 3 = 0$, что равносильно $x = -3$. Это уравнение задает вертикальную прямую, параллельную оси ординат (Oy).

2. $y - 2 = 0$, что равносильно $y = 2$. Это уравнение задает горизонтальную прямую, параллельную оси абсцисс (Ox).

Таким образом, график исходного уравнения представляет собой объединение двух прямых: $x = -3$ и $y = 2$.

Поскольку одна прямая вертикальная, а другая горизонтальная, они не параллельны и, следовательно, пересекаются. Точку их пересечения найдем, решив систему уравнений:

$\begin{cases} x = -3 \\ y = 2 \end{cases}$

Решением системы является точка с координатами $(-3; 2)$.

Итак, мы доказали, что график уравнения $xy - 2x + 3y - 6 = 0$ является парой прямых ($x=-3$ и $y=2$), которые пересекаются в точке $(-3; 2)$.

Ответ: Уравнение $xy - 2x + 3y - 6 = 0$ путем разложения на множители приводится к виду $(x + 3)(y - 2) = 0$. Это уравнение равносильно совокупности двух линейных уравнений: $x + 3 = 0$ и $y - 2 = 0$, которые задают две прямые $x = -3$ и $y = 2$. Эти прямые пересекаются в точке $(-3; 2)$, что и доказывает утверждение задачи.