Номер 1139, страница 257 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1139, страница 257.

1139. Дано двузначное число. Число его единиц на 3 меньше числа десятков. Произведение этого числа и числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке, равно 574. Найдите данное число.

Пусть $x$ — цифра десятков искомого двузначного числа, а $y$ — цифра его единиц. Тогда само число можно представить в виде $10x + y$. Поскольку $x$ — цифра десятков, она может принимать значения от 1 до 9, а $y$ — цифра единиц, ее значения могут быть от 0 до 9.

По первому условию задачи, число единиц на 3 меньше числа десятков. Это можно записать в виде уравнения:

$y = x - 3$

Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет иметь $y$ десятков и $x$ единиц, то есть его можно представить как $10y + x$.

По второму условию, произведение исходного числа и числа, записанного в обратном порядке, равно 574. Составим второе уравнение:

$(10x + y)(10y + x) = 574$

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$(10x + (x - 3))(10(x - 3) + x) = 574$

Упростим выражения в скобках:

$(11x - 3)(10x - 30 + x) = 574$

$(11x - 3)(11x - 30) = 574$

Раскроем скобки, чтобы получить квадратное уравнение:

$121x^2 - 330x - 33x + 90 = 574$

$121x^2 - 363x + 90 - 574 = 0$

$121x^2 - 363x - 484 = 0$

Заметим, что все коэффициенты этого уравнения ($121$, $-363$, $-484$) делятся на 121. Разделим обе части уравнения на 121 для его упрощения:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1$

Так как $x$ — это цифра десятков двузначного числа, она должна быть целым положительным числом. Поэтому корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию задачи.

Единственный подходящий корень — $x = 4$. Это цифра десятков.

Теперь найдем цифру единиц $y$, используя первое уравнение:

$y = x - 3 = 4 - 3 = 1$

Итак, искомое число имеет 4 десятка и 1 единицу. Это число 41.

Проверим найденное решение. Число единиц (1) на 3 меньше числа десятков (4), что соответствует условию. Произведение числа 41 и обратного ему числа 14 равно $41 \cdot 14 = 574$, что также соответствует условию.

Ответ: 41.