Номер 1123, страница 255 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1123, страница 255.

1123. При каком значении $m$ сумма квадратов корней уравнения $x^2 + x + m = 0$ равна 13?

Дано квадратное уравнение $x^2 + x + m = 0$. Пусть $x_1$ и $x_2$ — его корни. Согласно условию задачи, сумма квадратов этих корней равна 13. Запишем это в виде математического выражения: $x_1^2 + x_2^2 = 13$.

Для нахождения связи между корнями и коэффициентами уравнения воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:
$x_1 + x_2 = -p$
$x_1 \cdot x_2 = q$

Для нашего уравнения $x^2 + x + m = 0$ коэффициенты равны $p = 1$ и $q = m$. Применим теорему Виета:
$x_1 + x_2 = -1$
$x_1 \cdot x_2 = m$

Теперь выразим сумму квадратов корней $x_1^2 + x_2^2$ через их сумму и произведение. Для этого воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Отсюда $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.
Применительно к нашим корням:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь мы можем составить уравнение, подставив в него известные нам значения: $x_1^2 + x_2^2 = 13$, $x_1 + x_2 = -1$ и $x_1x_2 = m$.
$13 = (-1)^2 - 2 \cdot m$
$13 = 1 - 2m$

Решим полученное линейное уравнение относительно $m$:
$2m = 1 - 13$
$2m = -12$
$m = \frac{-12}{2}$
$m = -6$

Убедимся, что при данном значении $m$ уравнение имеет действительные корни. Для этого его дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot m = 1 - 4m$
Подставим $m = -6$:
$D = 1 - 4(-6) = 1 + 24 = 25$
Поскольку $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, значит, найденное значение $m$ является верным.

Ответ: -6