Номер 1118, страница 255 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

Задачи повышенной трудности. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1118, страница 255.

1118. Упростите выражение $\frac{(p^2 - \frac{1}{q^2})^p (p - \frac{1}{q})^{q-p}}{(q^2 - \frac{1}{p^2})^q (q + \frac{1}{p})^{p-q}}$. Укажите допустимые

значения переменных.

Упростите выражение

Заданное выражение: $$ \frac{\left(p^2 - \frac{1}{q^2}\right)^p \left(p - \frac{1}{q}\right)^{q-p}}{\left(q^2 - \frac{1}{p^2}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p-q}} $$ Для упрощения преобразуем числитель и знаменатель дроби по отдельности.

Сначала преобразуем числитель. Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для выражения $p^2 - \frac{1}{q^2}$:
$p^2 - \frac{1}{q^2} = \left(p - \frac{1}{q}\right)\left(p + \frac{1}{q}\right)$.
Подставим это в выражение для числителя:
$ \left(\left(p - \frac{1}{q}\right)\left(p + \frac{1}{q}\right)\right)^p \left(p - \frac{1}{q}\right)^{q-p} = \left(p - \frac{1}{q}\right)^p \left(p + \frac{1}{q}\right)^p \left(p - \frac{1}{q}\right)^{q-p} $.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями, используя свойство $x^a x^b = x^{a+b}$:
$ \left(p - \frac{1}{q}\right)^{p + (q-p)} \left(p + \frac{1}{q}\right)^p = \left(p - \frac{1}{q}\right)^q \left(p + \frac{1}{q}\right)^p $.

Теперь преобразуем знаменатель. Аналогично, для $q^2 - \frac{1}{p^2}$:
$ q^2 - \frac{1}{p^2} = \left(q - \frac{1}{p}\right)\left(q + \frac{1}{p}\right) $.
Подставим в выражение для знаменателя:
$ \left(\left(q - \frac{1}{p}\right)\left(q + \frac{1}{p}\right)\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p-q} = \left(q - \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^{p-q} $.
Группируем степени:
$ \left(q - \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^{q + (p-q)} = \left(q - \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^p $.

Подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в исходную дробь: $$ \frac{\left(p - \frac{1}{q}\right)^q \left(p + \frac{1}{q}\right)^p}{\left(q - \frac{1}{p}\right)^q \left(q + \frac{1}{p}\right)^p} $$ Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:
$ p - \frac{1}{q} = \frac{pq - 1}{q} $, $ p + \frac{1}{q} = \frac{pq + 1}{q} $
$ q - \frac{1}{p} = \frac{pq - 1}{p} $, $ q + \frac{1}{p} = \frac{pq + 1}{p} $
Подставим это в дробь: $$ \frac{\left(\frac{pq - 1}{q}\right)^q \left(\frac{pq + 1}{q}\right)^p}{\left(\frac{pq - 1}{p}\right)^q \left(\frac{pq + 1}{p}\right)^p} $$ Применим свойство степени дроби $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и свойство произведения степеней $a^n b^n = (ab)^n$: $$ \frac{\frac{(pq - 1)^q (pq + 1)^p}{q^q q^p}}{\frac{(pq - 1)^q (pq + 1)^p}{p^q p^p}} = \frac{\frac{(pq - 1)^q (pq + 1)^p}{q^{p+q}}}{\frac{(pq - 1)^q (pq + 1)^p}{p^{p+q}}} $$ Для деления дробей, умножим числитель на перевернутый знаменатель и сократим одинаковые множители $(pq - 1)^q (pq + 1)^p$: $$ \frac{(pq - 1)^q (pq + 1)^p}{q^{p+q}} \cdot \frac{p^{p+q}}{(pq - 1)^q (pq + 1)^p} = \frac{p^{p+q}}{q^{p+q}} $$ Используя свойство степени в обратном порядке, получаем окончательный результат: $$ \left(\frac{p}{q}\right)^{p+q} $$

Ответ: $\left(\frac{p}{q}\right)^{p+q}$

Укажите допустимые значения переменных

Для того чтобы исходное выражение было определено, необходимо, чтобы все знаменатели и все основания степеней были отличны от нуля.

1. Наличие в выражении дробей $\frac{1}{p^2}$ и $\frac{1}{q^2}$ накладывает условия: $p \neq 0$ и $q \neq 0$.

2. Основания степеней в выражении должны быть не равны нулю:
$p^2 - \frac{1}{q^2} \neq 0 \implies p^2q^2 \neq 1 \implies pq \neq \pm 1$.
$p - \frac{1}{q} \neq 0 \implies pq \neq 1$.
$q^2 - \frac{1}{p^2} \neq 0 \implies p^2q^2 \neq 1 \implies pq \neq \pm 1$.
$q + \frac{1}{p} \neq 0 \implies pq \neq -1$.

Объединяя все условия, получаем, что $p$ и $q$ не могут быть нулями, а их произведение не должно быть равно $1$ или $-1$.

Ответ: $p \neq 0, q \neq 0, pq \neq \pm 1$.