Страница 110 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Как построить графики функций: $y = -(x + 2)^2 + 2$; $y = -(x - 2)^2 - 2$; $y = -(x + 2)^2 - 2$; $y = -(x - 2)^2 + 2?$

Назовите координаты вершины каждой параболы.

2. Как расположены графики функций $y = -(x + 2)^2 + 2$ и $y = (x + 2)^2 + 2$ относительно оси $Ox?$

1. Как построить графики функций: $y = -(x + 2)^2 + 2$; $y = -(x - 2)^2 - 2$; $y = -(x + 2)^2 - 2$; $y = -(x - 2)^2 + 2$? Назовите координаты вершины каждой параболы.

Все данные функции являются квадратичными, их графики — параболы. Все они имеют вид $y = -(x - h)^2 + k$. График каждой такой функции можно получить из графика параболы $y = -x^2$ (стандартная парабола, ветви которой направлены вниз) путем параллельного переноса, при котором вершина параболы перемещается из начала координат $(0, 0)$ в точку с координатами $(h, k)$.

• Для функции $y = -(x + 2)^2 + 2$, уравнение можно записать как $y = -(x - (-2))^2 + 2$. Здесь $h = -2$, $k = 2$. Чтобы построить этот график, нужно сдвинуть параболу $y = -x^2$ на 2 единицы влево и на 2 единицы вверх. Вершина параболы будет в точке $(-2, 2)$.

• Для функции $y = -(x - 2)^2 - 2$: здесь $h = 2$, $k = -2$. Чтобы построить этот график, нужно сдвинуть параболу $y = -x^2$ на 2 единицы вправо и на 2 единицы вниз. Вершина параболы будет в точке $(2, -2)$.

• Для функции $y = -(x + 2)^2 - 2$: здесь $h = -2$, $k = -2$. Чтобы построить этот график, нужно сдвинуть параболу $y = -x^2$ на 2 единицы влево и на 2 единицы вниз. Вершина параболы будет в точке $(-2, -2)$.

• Для функции $y = -(x - 2)^2 + 2$: здесь $h = 2$, $k = 2$. Чтобы построить этот график, нужно сдвинуть параболу $y = -x^2$ на 2 единицы вправо и на 2 единицы вверх. Вершина параболы будет в точке $(2, 2)$.

На рисунке ниже показаны графики всех четырех парабол.

Ответ: Координаты вершин парабол: для $y = -(x + 2)^2 + 2$ — $(-2, 2)$; для $y = -(x - 2)^2 - 2$ — $(2, -2)$; для $y = -(x + 2)^2 - 2$ — $(-2, -2)$; для $y = -(x - 2)^2 + 2$ — $(2, 2)$.

2. Как расположены графики функций $y = -(x + 2)^2 + 2$ и $y = (x + 2)^2 + 2$ относительно оси Ox?

Рассмотрим расположение каждого из графиков относительно оси Ox (оси абсцисс).

График функции $y = (x + 2)^2 + 2$:
Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $(x+2)^2$ равен 1 (положительное число). Вершина параболы находится в точке $(-2, 2)$. Поскольку ордината вершины $y_v = 2$ является наименьшим значением функции, и это значение положительно, все точки графика лежат выше оси Ox. Таким образом, график функции $y = (x + 2)^2 + 2$ полностью расположен в верхней полуплоскости и не пересекает ось Ox.

График функции $y = -(x + 2)^2 + 2$:
Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $(x+2)^2$ равен -1 (отрицательное число). Вершина параболы также находится в точке $(-2, 2)$. Поскольку вершина расположена выше оси Ox ($y_v=2 > 0$), а ветви направлены вниз, парабола будет пересекать ось Ox. Точки пересечения можно найти, решив уравнение $-(x + 2)^2 + 2 = 0$, что дает $(x+2)^2 = 2$, откуда $x+2 = \pm\sqrt{2}$ и $x = -2 \pm \sqrt{2}$. Следовательно, часть графика (дуга между точками пересечения) находится выше оси Ox, а его ветви уходят бесконечно вниз, располагаясь под осью Ox.

Оба графика имеют общую вершину $(-2, 2)$ и общую ось симметрии $x = -2$. Они симметричны друг другу относительно горизонтальной прямой $y=2$, которая параллельна оси Ox.

Ответ: График функции $y = (x + 2)^2 + 2$ целиком расположен над осью Ox. График функции $y = -(x + 2)^2 + 2$ своей вершиной находится над осью Ox, но пересекает её в двух точках ($x = -2 \pm \sqrt{2}$), и его ветви направлены вниз, под ось Ox.