Страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.11. Используя шаблон параболы $y = x^2$, постройте график, запишите координаты вершины параболы и нули функции:

1) $y = (x - 2)^2 - 3;$

2) $y = (x + 2)^2 - 1;$

3) $y = (x - 2,5)^2 - 3,4;$

4) $y = -(x - 1)^2 + 4;$

5) $y = -(x + 3)^2 - 3;$

6) $y = -(x - 3,2)^2 + 2,4.$

1) $y = (x - 2)^2 - 3$

График этой функции — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 2 единицы вправо по оси абсцисс и на 3 единицы вниз по оси ординат. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при квадрате равен 1 (положительный).

Координаты вершины параболы

Уравнение параболы в вершинной форме: $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h; k)$ — координаты вершины. Для данной функции $h = 2$ и $k = -3$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(2; -3)$.

Нули функции

Для нахождения нулей функции приравняем $y$ к нулю:
$(x - 2)^2 - 3 = 0$
$(x - 2)^2 = 3$
$x - 2 = \pm\sqrt{3}$
$x = 2 \pm\sqrt{3}$
Нули функции: $x_1 = 2 - \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{3}$.

График функции

Ответ: Координаты вершины: $(2; -3)$; нули функции: $2 - \sqrt{3}$, $2 + \sqrt{3}$.

2) $y = (x + 2)^2 - 1$

График этой функции — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 2 единицы влево по оси абсцисс и на 1 единицу вниз по оси ординат. Ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины параболы

Уравнение можно записать как $y = (x - (-2))^2 - 1$. Здесь $h = -2$ и $k = -1$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-2; -1)$.

Нули функции

Приравняем $y$ к нулю:
$(x + 2)^2 - 1 = 0$
$(x + 2)^2 = 1$
$x + 2 = \pm 1$
$x = -2 \pm 1$
Нули функции: $x_1 = -2 - 1 = -3$ и $x_2 = -2 + 1 = -1$.

График функции

Ответ: Координаты вершины: $(-2; -1)$; нули функции: -3, -1.

3) $y = (x - 2,5)^2 - 3,4$

График этой функции — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 2,5 единицы вправо по оси абсцисс и на 3,4 единицы вниз по оси ординат. Ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины параболы

Здесь $h = 2,5$ и $k = -3,4$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(2,5; -3,4)$.

Нули функции

Приравняем $y$ к нулю:
$(x - 2,5)^2 - 3,4 = 0$
$(x - 2,5)^2 = 3,4$
$x - 2,5 = \pm\sqrt{3,4}$
$x = 2,5 \pm\sqrt{3,4}$
Нули функции: $x_1 = 2,5 - \sqrt{3,4}$ и $x_2 = 2,5 + \sqrt{3,4}$.

График функции

Ответ: Координаты вершины: $(2,5; -3,4)$; нули функции: $2,5 - \sqrt{3,4}$, $2,5 + \sqrt{3,4}$.

4) $y = -(x - 1)^2 + 4$

График этой функции — это парабола $y = -x^2$ (ветви вниз), сдвинутая на 1 единицу вправо по оси абсцисс и на 4 единицы вверх по оси ординат. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при квадрате равен -1 (отрицательный).

Координаты вершины параболы

Здесь $h = 1$ и $k = 4$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1; 4)$.

Нули функции

Приравняем $y$ к нулю:
$-(x - 1)^2 + 4 = 0$
$(x - 1)^2 = 4$
$x - 1 = \pm 2$
$x = 1 \pm 2$
Нули функции: $x_1 = 1 - 2 = -1$ и $x_2 = 1 + 2 = 3$.

График функции

Ответ: Координаты вершины: $(1; 4)$; нули функции: -1, 3.

5) $y = -(x + 3)^2 - 3$

График этой функции — это парабола $y = -x^2$ (ветви вниз), сдвинутая на 3 единицы влево по оси абсцисс и на 3 единицы вниз по оси ординат. Ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы

Уравнение можно записать как $y = -(x - (-3))^2 - 3$. Здесь $h = -3$ и $k = -3$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-3; -3)$.

Нули функции

Приравняем $y$ к нулю:
$-(x + 3)^2 - 3 = 0$
$-(x + 3)^2 = 3$
$(x + 3)^2 = -3$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому у этого уравнения нет действительных корней. Функция не имеет нулей. Это также видно из того, что вершина находится в точке $(-3;-3)$, а ветви направлены вниз, поэтому график не пересекает ось Ox.

График функции

Ответ: Координаты вершины: $(-3; -3)$; нулей функции нет.

6) $y = -(x - 3,2)^2 + 2,4$

График этой функции — это парабола $y = -x^2$ (ветви вниз), сдвинутая на 3,2 единицы вправо по оси абсцисс и на 2,4 единицы вверх по оси ординат. Ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы

Здесь $h = 3,2$ и $k = 2,4$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(3,2; 2,4)$.

Нули функции

Приравняем $y$ к нулю:
$-(x - 3,2)^2 + 2,4 = 0$
$(x - 3,2)^2 = 2,4$
$x - 3,2 = \pm\sqrt{2,4}$
$x = 3,2 \pm\sqrt{2,4}$
Нули функции: $x_1 = 3,2 - \sqrt{2,4}$ и $x_2 = 3,2 + \sqrt{2,4}$.

График функции

Ответ: Координаты вершины: $(3,2; 2,4)$; нули функции: $3,2 - \sqrt{2,4}$, $3,2 + \sqrt{2,4}$.

13.12. Постройте схематический график и опишите свойства функции:

1) $y = 2(x - 2)^2 - 1;$

2) $y = -(x + 2)^2 + 4;$

3) $y = (x - 2.5)^2 - 6;$

4) $y = -2(x - 1)^2 + 3;$

5) $y = -3(x + 3)^2 - 2;$

6) $y = -0.5(x - 3)^2 + 2.$

1) $y = 2(x - 2)^2 - 1$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Функция задана в виде $y = a(x - m)^2 + n$.
Построение графика:
1. Коэффициент $a = 2$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Так как $|a| > 1$, парабола "сжата" к оси симметрии (уже, чем $y=x^2$).
2. Координаты вершины $(m; n)$ равны $(2; -1)$.
3. Ось симметрии — вертикальная прямая $x = 2$.
4. Найдем точки пересечения с осями координат для более точного построения.
- С осью OY (при $x=0$): $y = 2(0 - 2)^2 - 1 = 2 \cdot 4 - 1 = 7$. Точка пересечения $(0; 7)$.
- С осью OX (при $y=0$): $0 = 2(x - 2)^2 - 1 \implies 2(x - 2)^2 = 1 \implies (x - 2)^2 = \frac{1}{2} \implies x - 2 = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} \implies x = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$. Точки пересечения: $(2 - \frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$ и $(2 + \frac{\sqrt{2}}{2}; 0)$.

Схематический график функции:

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = [-1; +\infty)$.
3. Функция убывает на промежутке $(-\infty; 2]$ и возрастает на промежутке $[2; +\infty)$.
4. Нули функции: $x_1 = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$, $x_2 = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.
5. Функция принимает наименьшее значение $y_{min} = -1$ при $x=2$. Наибольшего значения не существует.
6. Функция чётная/нечётная: общего вида (не является ни чётной, ни нечётной).

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(2, -1)$, ветви направлены вверх. Ось симметрии $x=2$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y) = [-1; +\infty)$. Функция убывает на $(-\infty; 2]$ и возрастает на $[2; +\infty)$. Нули функции: $x = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) $y = -(x + 2)^2 + 4$

Это квадратичная функция $y = a(x - m)^2 + n$.
Построение графика:
1. Коэффициент $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Так как $|a| = 1$, форма параболы такая же, как у $y=x^2$.
2. Координаты вершины $(m; n)$ равны $(-2; 4)$.
3. Ось симметрии — прямая $x = -2$.
4. Точки пересечения с осями:
- С осью OY ($x=0$): $y = -(0 + 2)^2 + 4 = -4 + 4 = 0$. Точка $(0; 0)$ - начало координат.
- С осью OX ($y=0$): $0 = -(x + 2)^2 + 4 \implies (x + 2)^2 = 4 \implies x + 2 = \pm 2$. Отсюда $x_1 = -2 - 2 = -4$ и $x_2 = -2 + 2 = 0$. Точки пересечения: $(-4; 0)$ и $(0; 0)$.

Схематический график функции:

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 4]$.
3. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; -2]$ и убывает на промежутке $[-2; +\infty)$.
4. Нули функции: $x_1 = -4$, $x_2 = 0$.
5. Функция принимает наибольшее значение $y_{max} = 4$ при $x=-2$. Наименьшего значения не существует.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(-2, 4)$, ветви направлены вниз. Ось симметрии $x=-2$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-\infty; 4]$. Функция возрастает на $(-\infty; -2]$ и убывает на $[-2; +\infty)$. Нули функции: $x=-4, x=0$.

3) $y = (x - 2,5)^2 - 6$

Это квадратичная функция $y = a(x - m)^2 + n$.
Построение графика:
1. Коэффициент $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины $(m; n)$ равны $(2,5; -6)$.
3. Ось симметрии — прямая $x = 2,5$.
4. Точки пересечения с осями:
- С осью OY ($x=0$): $y = (0 - 2,5)^2 - 6 = 6,25 - 6 = 0,25$. Точка $(0; 0,25)$.
- С осью OX ($y=0$): $0 = (x - 2,5)^2 - 6 \implies (x - 2,5)^2 = 6 \implies x - 2,5 = \pm \sqrt{6}$. Отсюда $x = 2,5 \pm \sqrt{6}$. Точки пересечения: $(2,5 - \sqrt{6}; 0)$ и $(2,5 + \sqrt{6}; 0)$.

Схематический график функции:

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = [-6; +\infty)$.
3. Функция убывает на промежутке $(-\infty; 2,5]$ и возрастает на промежутке $[2,5; +\infty)$.
4. Нули функции: $x = 2,5 \pm \sqrt{6}$.
5. Функция принимает наименьшее значение $y_{min} = -6$ при $x=2,5$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(2,5; -6)$, ветви направлены вверх. Ось симметрии $x=2,5$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y) = [-6; +\infty)$. Функция убывает на $(-\infty; 2,5]$ и возрастает на $[2,5; +\infty)$. Нули функции: $x = 2,5 \pm \sqrt{6}$.

4) $y = -2(x - 1)^2 + 3$

Это квадратичная функция $y = a(x - m)^2 + n$.
Построение графика:
1. Коэффициент $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Координаты вершины $(m; n)$ равны $(1; 3)$.
3. Ось симметрии — прямая $x = 1$.
4. Точки пересечения с осями:
- С осью OY ($x=0$): $y = -2(0 - 1)^2 + 3 = -2 + 3 = 1$. Точка $(0; 1)$.
- С осью OX ($y=0$): $0 = -2(x - 1)^2 + 3 \implies 2(x - 1)^2 = 3 \implies (x - 1)^2 = 1,5 \implies x - 1 = \pm \sqrt{1,5}$. Отсюда $x = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{2}$. Точки пересечения: $(1 - \frac{\sqrt{6}}{2}; 0)$ и $(1 + \frac{\sqrt{6}}{2}; 0)$.

Схематический график функции:

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 3]$.
3. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$ и убывает на промежутке $[1; +\infty)$.
4. Нули функции: $x = 1 \pm \sqrt{1,5}$.
5. Функция принимает наибольшее значение $y_{max} = 3$ при $x=1$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(1; 3)$, ветви направлены вниз. Ось симметрии $x=1$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-\infty; 3]$. Функция возрастает на $(-\infty; 1]$ и убывает на $[1; +\infty)$. Нули функции: $x = 1 \pm \sqrt{1,5}$.

5) $y = -3(x + 3)^2 - 2$

Это квадратичная функция $y = a(x - m)^2 + n$.
Построение графика:
1. Коэффициент $a = -3$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Координаты вершины $(m; n)$ равны $(-3; -2)$.
3. Ось симметрии — прямая $x = -3$.
4. Точки пересечения с осями:
- С осью OY ($x=0$): $y = -3(0 + 3)^2 - 2 = -3 \cdot 9 - 2 = -29$. Точка $(0; -29)$.
- С осью OX ($y=0$): $0 = -3(x + 3)^2 - 2 \implies -3(x + 3)^2 = 2 \implies (x + 3)^2 = -\frac{2}{3}$. Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Значит, график не пересекает ось OX.

Схематический график функции:

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; -2]$.
3. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; -3]$ и убывает на промежутке $[-3; +\infty)$.
4. Нули функции: отсутствуют.
5. Функция принимает наибольшее значение $y_{max} = -2$ при $x=-3$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(-3; -2)$, ветви направлены вниз. Ось симметрии $x=-3$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-\infty; -2]$. Функция возрастает на $(-\infty; -3]$ и убывает на $[-3; +\infty)$. Нулей у функции нет.

6) $y = -0,5(x - 3)^2 + 2$

Это квадратичная функция $y = a(x - m)^2 + n$.
Построение графика:
1. Коэффициент $a = -0,5$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Так как $|a| < 1$, парабола "расширена" (шире, чем $y=x^2$).
2. Координаты вершины $(m; n)$ равны $(3; 2)$.
3. Ось симметрии — прямая $x = 3$.
4. Точки пересечения с осями:
- С осью OY ($x=0$): $y = -0,5(0 - 3)^2 + 2 = -0,5 \cdot 9 + 2 = -4,5 + 2 = -2,5$. Точка $(0; -2,5)$.
- С осью OX ($y=0$): $0 = -0,5(x - 3)^2 + 2 \implies 0,5(x - 3)^2 = 2 \implies (x - 3)^2 = 4 \implies x - 3 = \pm 2$. Отсюда $x_1 = 3 - 2 = 1$ и $x_2 = 3 + 2 = 5$. Точки пересечения: $(1; 0)$ и $(5; 0)$.

Схематический график функции:

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 2]$.
3. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 3]$ и убывает на промежутке $[3; +\infty)$.
4. Нули функции: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.
5. Функция принимает наибольшее значение $y_{max} = 2$ при $x=3$.

Ответ: График — парабола с вершиной в точке $(3; 2)$, ветви направлены вниз. Ось симметрии $x=3$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений $E(y) = (-\infty; 2]$. Функция возрастает на $(-\infty; 3]$ и убывает на $[3; +\infty)$. Нули функции: $x=1, x=5$.

13.13. Постройте параболу, найдите ее ось симметрии и вершину, укажите множество значений функции:

1) $y = (x - 2,6)^2$;

2) $y = (x + 0,2)^2$;

3) $y = -(x - 3,1)^2$;

4) $y = x^2 - 2,4$;

5) $y = -x^2 + 4$;

6) $y = -(x + 3)^2 - 2$;

7) $y = (x - 2)^2 - 2$;

8) $y = -3(x + 2)^2 + 5$;

9) $y = \frac{1}{5}(x - 2,8)^2 - 8\frac{1}{3}$.

1)

Для функции $y = (x - 2,6)^2$. Это уравнение параболы в вершинной форме $y = a(x-h)^2 + k$.

Здесь коэффициент $a=1$, абсцисса вершины $h=2,6$, ордината вершины $k=0$.

Вершина параболы находится в точке с координатами $(h; k)$, то есть $(2,6; 0)$.

Ось симметрии — это вертикальная прямая, проходящая через вершину, её уравнение $x = h$, то есть $x = 2,6$.

Множество значений функции: Поскольку коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение в вершине, равное $k=0$. Множество значений функции $E(y) = [0; +\infty)$.

Построение графика: Отметим вершину $(2,6; 0)$ и проведем ось симметрии $x = 2,6$. Найдем несколько дополнительных точек: при $x=3,6$, $y=(3,6-2,6)^2=1$; при $x=1,6$, $y=(1,6-2,6)^2=1$. Соединим точки плавной кривой.

Ответ: Ось симметрии: $x = 2,6$; вершина: $(2,6; 0)$; множество значений: $[0; +\infty)$. График представлен выше.

2)

Для функции $y = (x + 0,2)^2$. Уравнение можно переписать в виде $y = (x - (-0,2))^2 + 0$.

Здесь $a=1$, $h=-0,2$, $k=0$.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(-0,2; 0)$.

Ось симметрии — прямая $x = h$, то есть $x = -0,2$.

Множество значений функции: Так как $a=1 > 0$, ветви направлены вверх. Наименьшее значение функции равно $k=0$. Множество значений $E(y) = [0; +\infty)$.

Построение графика: Отмечаем вершину $(-0,2; 0)$ и ось симметрии $x=-0,2$. Найдем точки: при $x=0,8$, $y=(0,8+0,2)^2=1$; при $x=-1,2$, $y=(-1,2+0,2)^2=1$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Ось симметрии: $x = -0,2$; вершина: $(-0,2; 0)$; множество значений: $[0; +\infty)$. График представлен выше.

3)

Для функции $y = -(x - 3,1)^2$. Это уравнение параболы вида $y = a(x-h)^2 + k$.

Здесь $a=-1$, $h=3,1$, $k=0$.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(3,1; 0)$.

Ось симметрии — прямая $x = h$, то есть $x = 3,1$.

Множество значений функции: Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Наибольшее значение функции равно $k=0$. Множество значений $E(y) = (-\infty; 0]$.

Построение графика: Отмечаем вершину $(3,1; 0)$ и ось симметрии $x=3,1$. Найдем точки: при $x=4,1$, $y=-(4,1-3,1)^2=-1$; при $x=2,1$, $y=-(2,1-3,1)^2=-1$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Ось симметрии: $x = 3,1$; вершина: $(3,1; 0)$; множество значений: $(-\infty; 0]$. График представлен выше.

4)

Для функции $y = x^2 - 2,4$. Это уравнение можно переписать в виде $y = (x - 0)^2 - 2,4$.

Здесь $a=1$, $h=0$, $k=-2,4$.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(0; -2,4)$.

Ось симметрии — прямая $x = h$, то есть $x = 0$ (совпадает с осью Oy).

Множество значений функции: Так как $a=1 > 0$, ветви направлены вверх. Наименьшее значение функции равно $k=-2,4$. Множество значений $E(y) = [-2,4; +\infty)$.

Построение графика: Отмечаем вершину $(0; -2,4)$, которая лежит на оси Oy. Найдем точки: при $x=1$, $y=1^2-2,4=-1,4$; при $x=2$, $y=2^2-2,4=1,6$. Симметричные точки $(-1; -1,4)$ и $(-2; 1,6)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Ось симметрии: $x = 0$; вершина: $(0; -2,4)$; множество значений: $[-2,4; +\infty)$. График представлен выше.

5)

Для функции $y = -x^2 + 4$. Это уравнение можно переписать в виде $y = -(x - 0)^2 + 4$.

Здесь $a=-1$, $h=0$, $k=4$.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(0; 4)$.

Ось симметрии — прямая $x = h$, то есть $x = 0$ (ось Oy).

Множество значений функции: Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Наибольшее значение функции равно $k=4$. Множество значений $E(y) = (-\infty; 4]$.

Построение графика: Отмечаем вершину $(0; 4)$ на оси Oy. Найдем точки: при $x=1$, $y=-1^2+4=3$; при $x=2$, $y=-2^2+4=0$. Симметричные точки $(-1; 3)$ и $(-2; 0)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Ось симметрии: $x = 0$; вершина: $(0; 4)$; множество значений: $(-\infty; 4]$. График представлен выше.

6)

Для функции $y = -(x + 3)^2 - 2$. Перепишем уравнение в виде $y = -(x - (-3))^2 - 2$.

Здесь $a=-1$, $h=-3$, $k=-2$.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(-3; -2)$.

Ось симметрии — прямая $x = h$, то есть $x = -3$.

Множество значений функции: Так как $a=-1 < 0$, ветви направлены вниз. Наибольшее значение функции равно $k=-2$. Множество значений $E(y) = (-\infty; -2]$.

Построение графика: Отмечаем вершину $(-3; -2)$ и ось симметрии $x=-3$. Найдем точки: при $x=-2$, $y=-(-2+3)^2-2=-3$; при $x=-4$, $y=-(-4+3)^2-2=-3$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Ось симметрии: $x = -3$; вершина: $(-3; -2)$; множество значений: $(-\infty; -2]$. График представлен выше.

7)

Для функции $y = (x - 2)^2 - 2$. Уравнение дано в вершинной форме $y=a(x-h)^2+k$.

Здесь $a=1$, $h=2$, $k=-2$.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(2; -2)$.

Ось симметрии — прямая $x = h$, то есть $x = 2$.

Множество значений функции: Так как $a=1 > 0$, ветви направлены вверх. Наименьшее значение функции равно $k=-2$. Множество значений $E(y) = [-2; +\infty)$.

Построение графика: Отмечаем вершину $(2; -2)$ и ось симметрии $x=2$. Найдем точки: при $x=3$, $y=(3-2)^2-2=-1$; при $x=4$, $y=(4-2)^2-2=2$. Симметричные точки $(1; -1)$ и $(0; 2)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Ось симметрии: $x = 2$; вершина: $(2; -2)$; множество значений: $[-2; +\infty)$. График представлен выше.

8)

Для функции $y = -3(x + 2)^2 + 5$. Перепишем уравнение в виде $y = -3(x - (-2))^2 + 5$.

Здесь $a=-3$, $h=-2$, $k=5$.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(-2; 5)$.

Ось симметрии — прямая $x = h$, то есть $x = -2$.

Множество значений функции: Так как $a=-3 < 0$, ветви направлены вниз. Наибольшее значение функции равно $k=5$. Множество значений $E(y) = (-\infty; 5]$.

Построение графика: Отмечаем вершину $(-2; 5)$ и ось симметрии $x=-2$. Ветви параболы "сжаты" к оси симметрии в 3 раза по сравнению с $y=-x^2$. Найдем точки: при $x=-1$, $y=-3(-1+2)^2+5=2$; при $x=-3$, $y=-3(-3+2)^2+5=2$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Ось симметрии: $x = -2$; вершина: $(-2; 5)$; множество значений: $(-\infty; 5]$. График представлен выше.

9)

Для функции $y = \frac{1}{5}(x - 2,8)^2 - 8\frac{1}{3}$. Это уравнение параболы в форме $y = a(x-h)^2 + k$.

Здесь $a=\frac{1}{5}$, $h=2,8$, $k=-8\frac{1}{3}$.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(2,8; -8\frac{1}{3})$.

Ось симметрии — прямая $x = h$, то есть $x = 2,8$.

Множество значений функции: Так как $a=\frac{1}{5} > 0$, ветви направлены вверх. Наименьшее значение функции равно $k=-8\frac{1}{3}$. Множество значений $E(y) = [-8\frac{1}{3}; +\infty)$.

Построение графика: Отмечаем вершину $(2,8; -8\frac{1}{3})$ и ось симметрии $x=2,8$. Ветви параболы "шире", чем у $y=x^2$. Найдем точки: при $x=7,8$, $y=\frac{1}{5}(7,8-2,8)^2-8\frac{1}{3} = \frac{1}{5}(5)^2 - 8\frac{1}{3} = 5-8\frac{1}{3} = -3\frac{1}{3}$. Симметричная точка $(-2,2; -3\frac{1}{3})$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Ось симметрии: $x = 2,8$; вершина: $(2,8; -8\frac{1}{3})$; множество значений: $[-8\frac{1}{3}; +\infty)$. График представлен выше.

13.14. Найдите нули функции (если они существуют):

1) $y = x^2 - 2,25;$ 2) $y = -x^2 + 16;$

3) $y = -(x - 3)^2 - 2;$ 4) $y = (x - 2)^2 - 25;$

5) $y = -3(x + 2)^2 - 15;$ 6) $y = \frac{1}{5}(x - 6,8)^2 - 9\frac{1}{15}.$

1) Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули функции $y = x^2 - 2,25$, решим уравнение:
$x^2 - 2,25 = 0$
$x^2 = 2,25$
$x = \pm\sqrt{2,25}$
$x_1 = 1,5$, $x_2 = -1,5$
Ответ: $-1,5; 1,5$.

2) Чтобы найти нули функции $y = -x^2 + 16$, решим уравнение:
$-x^2 + 16 = 0$
$x^2 = 16$
$x = \pm\sqrt{16}$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$
Ответ: $-4; 4$.

3) Чтобы найти нули функции $y = -(x - 3)^2 - 2$, решим уравнение:
$-(x - 3)^2 - 2 = 0$
$-(x - 3)^2 = 2$
$(x - 3)^2 = -2$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, у функции нет нулей.
Ответ: нулей нет.

4) Чтобы найти нули функции $y = (x - 2)^2 - 25$, решим уравнение:
$(x - 2)^2 - 25 = 0$
$(x - 2)^2 = 25$
$x - 2 = \pm\sqrt{25}$
$x - 2 = \pm 5$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 5 + 2 = 7$
$x_2 = -5 + 2 = -3$
Ответ: $-3; 7$.

5) Чтобы найти нули функции $y = -3(x + 2)^2 - 15$, решим уравнение:
$-3(x + 2)^2 - 15 = 0$
$-3(x + 2)^2 = 15$
$(x + 2)^2 = -5$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, у функции нет нулей.
Ответ: нулей нет.

6) Чтобы найти нули функции $y = \frac{1}{5}(x - 6,8)^2 - 9\frac{1}{15}$, решим уравнение:
$\frac{1}{5}(x - 6,8)^2 - 9\frac{1}{15} = 0$
Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $9\frac{1}{15} = \frac{9 \cdot 15 + 1}{15} = \frac{136}{15}$.
$\frac{1}{5}(x - 6,8)^2 = \frac{136}{15}$
Умножим обе части уравнения на 5:
$(x - 6,8)^2 = \frac{136}{15} \cdot 5$
$(x - 6,8)^2 = \frac{136}{3}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x - 6,8 = \pm\sqrt{\frac{136}{3}}$
$x = 6,8 \pm \sqrt{\frac{136}{3}}$
Представим $6,8$ как дробь $\frac{34}{5}$ и упростим корень:
$x = \frac{34}{5} \pm \sqrt{\frac{4 \cdot 34}{3}} = \frac{34}{5} \pm 2\sqrt{\frac{34}{3}} = \frac{34}{5} \pm \frac{2\sqrt{34}}{\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$x = \frac{34}{5} \pm \frac{2\sqrt{34}\sqrt{3}}{3} = \frac{34}{5} \pm \frac{2\sqrt{102}}{3}$
Ответ: $\frac{34}{5} - \frac{2\sqrt{102}}{3}; \frac{34}{5} + \frac{2\sqrt{102}}{3}$.

13.15. Постройте график функции $y$. Найдите вершину и ось симметрии параболы и опишите свойства функции:

1) $y = 3x^2 - 2,4;$

2) $y = -x^2 + 4,6;$

3) $y = 2(x - 3,6)^2;$

4) $y = (x - 2,6)^2;$

5) $y = (x + 0,2)^2;$

6) $y = -(x + 3)^2 - 2;$

7) $y = (x + 2)^2 - 6;$

8) $y = -(x - 2)^2 + 7.$

1) $y = 3x^2 - 2,4$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Уравнение представлено в виде $y = ax^2 + n$, что является частным случаем канонической формы $y = a(x-m)^2 + n$.

Нахождение вершины и оси симметрии:
В данном уравнении коэффициенты: $a = 3$, $m = 0$, $n = -2,4$.
Поскольку коэффициент $a=3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины параболы: $(m, n) = (0; -2,4)$.
Уравнение оси симметрии: $x = m \implies x = 0$ (ось Oy).

Построение графика:
График функции $y = 3x^2 - 2,4$ получается из графика $y = 3x^2$ сдвигом вниз по оси Oy на 2,4 единицы. Составим таблицу значений для построения:

Таблица точек:
x | -1,5 | -1 | 0 | 1 | 1,5
--|------|----|---------|---|-----
y | 4,35 | 0,6| -2,4 |0,6| 4,35

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = [-2,4; +\infty)$.
3. Нули функции: $3x^2 - 2,4 = 0 \implies x^2 = 0,8 \implies x = \pm\sqrt{0,8} = \pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -\sqrt{0,8}) \cup (\sqrt{0,8}; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\sqrt{0,8}; \sqrt{0,8})$.
5. Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$.
6. Экстремумы: $y_{min} = -2,4$ при $x = 0$.
7. Функция является четной, так как $y(-x) = 3(-x)^2 - 2,4 = 3x^2 - 2,4 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

Ответ: Вершина: $(0; -2,4)$, ось симметрии: $x = 0$. Свойства и график представлены выше.

2) $y = -x^2 + 4,6$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Уравнение представлено в виде $y = ax^2 + n$.

Нахождение вершины и оси симметрии:
В данном уравнении коэффициенты: $a = -1$, $m = 0$, $n = 4,6$.
Поскольку коэффициент $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Координаты вершины параболы: $(m, n) = (0; 4,6)$.
Уравнение оси симметрии: $x = m \implies x = 0$ (ось Oy).

Построение графика:
График функции $y = -x^2 + 4,6$ получается из графика $y = -x^2$ сдвигом вверх по оси Oy на 4,6 единицы. Составим таблицу значений:

Таблица точек:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2
--|----|----|-----|---|----
y | 0,6| 3,6| 4,6 |3,6| 0,6

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 4,6]$.
3. Нули функции: $-x^2 + 4,6 = 0 \implies x^2 = 4,6 \implies x = \pm\sqrt{4,6}$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\sqrt{4,6}; \sqrt{4,6})$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -\sqrt{4,6}) \cup (\sqrt{4,6}; +\infty)$.
5. Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$.
6. Экстремумы: $y_{max} = 4,6$ при $x = 0$.
7. Функция является четной, так как $y(-x) = -(-x)^2 + 4,6 = -x^2 + 4,6 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

Ответ: Вершина: $(0; 4,6)$, ось симметрии: $x = 0$. Свойства и график представлены выше.

3) $y = 2(x - 3,6)^2$

Это квадратичная функция, график — парабола. Уравнение вида $y = a(x-m)^2 + n$.

Нахождение вершины и оси симметрии:
Коэффициенты: $a = 2$, $m = 3,6$, $n = 0$.
Так как $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины параболы: $(m, n) = (3,6; 0)$.
Уравнение оси симметрии: $x = m \implies x = 3,6$.

Построение графика:
График функции $y = 2(x - 3,6)^2$ получается из графика $y = 2x^2$ сдвигом вправо по оси Ox на 3,6 единицы.

Таблица точек:
x | 1,6 | 2,6 | 3,6 | 4,6 | 5,6
--|-----|-----|-----|-----|-----
y | 8 | 2 | 0 | 2 | 8

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Нули функции: $2(x - 3,6)^2 = 0 \implies x = 3,6$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 3,6) \cup (3,6; +\infty)$. $y=0$ при $x=3.6$.
5. Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 3,6]$ и возрастает на $[3,6; +\infty)$.
6. Экстремумы: $y_{min} = 0$ при $x = 3,6$.
7. Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида).

Ответ: Вершина: $(3,6; 0)$, ось симметрии: $x = 3,6$. Свойства и график представлены выше.

4) $y = (x - 2,6)^2$

Это квадратичная функция, график — парабола. Уравнение вида $y = a(x-m)^2 + n$.

Нахождение вершины и оси симметрии:
Коэффициенты: $a = 1$, $m = 2,6$, $n = 0$.
Так как $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины параболы: $(m, n) = (2,6; 0)$.
Уравнение оси симметрии: $x = m \implies x = 2,6$.

Построение графика:
График функции $y = (x - 2,6)^2$ получается из графика $y = x^2$ сдвигом вправо по оси Ox на 2,6 единицы.

Таблица точек:
x | 0,6 | 1,6 | 2,6 | 3,6 | 4,6
--|-----|-----|-----|-----|-----
y | 4 | 1 | 0 | 1 | 4

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Нули функции: $(x - 2,6)^2 = 0 \implies x = 2,6$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 2,6) \cup (2,6; +\infty)$. $y=0$ при $x=2.6$.
5. Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 2,6]$ и возрастает на $[2,6; +\infty)$.
6. Экстремумы: $y_{min} = 0$ при $x = 2,6$.
7. Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида).

Ответ: Вершина: $(2,6; 0)$, ось симметрии: $x = 2,6$. Свойства и график представлены выше.

5) $y = (x + 0,2)^2$

Это квадратичная функция, график — парабола. Уравнение $y = (x - (-0,2))^2$ имеет вид $y = a(x-m)^2 + n$.

Нахождение вершины и оси симметрии:
Коэффициенты: $a = 1$, $m = -0,2$, $n = 0$.
Так как $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины параболы: $(m, n) = (-0,2; 0)$.
Уравнение оси симметрии: $x = m \implies x = -0,2$.

Построение графика:
График функции $y = (x + 0,2)^2$ получается из графика $y = x^2$ сдвигом влево по оси Ox на 0,2 единицы.

Таблица точек:
x | -2,2 | -1,2 | -0,2 | 0,8 | 1,8
--|------|------|------|-----|-----
y | 4 | 1 | 0 | 1 | 4

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Нули функции: $(x + 0,2)^2 = 0 \implies x = -0,2$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -0,2) \cup (-0,2; +\infty)$. $y=0$ при $x=-0.2$.
5. Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; -0,2]$ и возрастает на $[-0,2; +\infty)$.
6. Экстремумы: $y_{min} = 0$ при $x = -0,2$.
7. Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида).

Ответ: Вершина: $(-0,2; 0)$, ось симметрии: $x = -0,2$. Свойства и график представлены выше.

6) $y = -(x + 3)^2 - 2$

Это квадратичная функция, график — парабола. Уравнение $y = -(x - (-3))^2 - 2$ имеет вид $y = a(x-m)^2 + n$.

Нахождение вершины и оси симметрии:
Коэффициенты: $a = -1$, $m = -3$, $n = -2$.
Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Координаты вершины параболы: $(m, n) = (-3; -2)$.
Уравнение оси симметрии: $x = m \implies x = -3$.

Построение графика:
График получается из $y = -x^2$ сдвигом влево на 3 единицы и вниз на 2 единицы.

Таблица точек:
x | -5 | -4 | -3 | -2 | -1
--|----|----|----|----|----
y | -6 | -3 | -2 | -3 | -6

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; -2]$.
3. Нули функции: $-(x + 3)^2 - 2 = 0 \implies (x+3)^2 = -2$. Действительных корней нет, график не пересекает ось Ox.
4. Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при всех $x \in (-\infty; +\infty)$.
5. Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; -3]$ и убывает на $[-3; +\infty)$.
6. Экстремумы: $y_{max} = -2$ при $x = -3$.
7. Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида).

Ответ: Вершина: $(-3; -2)$, ось симметрии: $x = -3$. Свойства и график представлены выше.

7) $y = (x + 2)^2 - 6$

Это квадратичная функция, график — парабола. Уравнение $y = (x - (-2))^2 - 6$ имеет вид $y = a(x-m)^2 + n$.

Нахождение вершины и оси симметрии:
Коэффициенты: $a = 1$, $m = -2$, $n = -6$.
Так как $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины параболы: $(m, n) = (-2; -6)$.
Уравнение оси симметрии: $x = m \implies x = -2$.

Построение графика:
График получается из $y = x^2$ сдвигом влево на 2 единицы и вниз на 6 единиц.

Таблица точек:
x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0
--|----|----|----|----|----
y | -2 | -5 | -6 | -5 | -2

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = [-6; +\infty)$.
3. Нули функции: $(x+2)^2 - 6 = 0 \implies (x+2)^2 = 6 \implies x = -2 \pm \sqrt{6}$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2-\sqrt{6}) \cup (-2+\sqrt{6}; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-2-\sqrt{6}; -2+\sqrt{6})$.
5. Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; -2]$ и возрастает на $[-2; +\infty)$.
6. Экстремумы: $y_{min} = -6$ при $x = -2$.
7. Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида).

Ответ: Вершина: $(-2; -6)$, ось симметрии: $x = -2$. Свойства и график представлены выше.

8) $y = -(x - 2)^2 + 7$

Это квадратичная функция, график — парабола. Уравнение имеет вид $y = a(x-m)^2 + n$.

Нахождение вершины и оси симметрии:
Коэффициенты: $a = -1$, $m = 2$, $n = 7$.
Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Координаты вершины параболы: $(m, n) = (2; 7)$.
Уравнение оси симметрии: $x = m \implies x = 2$.

Построение графика:
График получается из $y = -x^2$ сдвигом вправо на 2 единицы и вверх на 7 единиц.

Таблица точек:
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4
--|---|---|---|---|---
y | 3 | 6 | 7 | 6 | 3

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 7]$.
3. Нули функции: $-(x-2)^2 + 7 = 0 \implies (x-2)^2 = 7 \implies x = 2 \pm \sqrt{7}$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (2-\sqrt{7}; 2+\sqrt{7})$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 2-\sqrt{7}) \cup (2+\sqrt{7}; +\infty)$.
5. Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; 2]$ и убывает на $[2; +\infty)$.
6. Экстремумы: $y_{max} = 7$ при $x = 2$.
7. Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида).

Ответ: Вершина: $(2; 7)$, ось симметрии: $x = 2$. Свойства и график представлены выше.

13.16. Выделите квадрат двучлена и постройте график функции:

1) $y = x^2 - 4x + 6;$

2) $y = x^2 + 6x + 7;$

3) $y = x^2 - 2x - 3;$

4) $y = -x^2 + 4x + 5;$

5) $y = -2x^2 + 4x + 9;$

6) $y = -3x^2 - 12x + 1.$

1)Исходная функция: $y = x^2 - 4x + 6$.

Шаг 1: Выделение квадрата двучлена.
Сгруппируем члены с $x$ и дополним их до полного квадрата. Формула полного квадрата: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $x^2 - 4x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2$. Чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить и отнять $2^2 = 4$.
$y = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 6$
$y = (x - 2)^2 + 2$
Это канонический вид уравнения параболы $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h; k)$ — координаты вершины.

Шаг 2: Построение графика.
Вершина параболы находится в точке $(2; 2)$.
Так как коэффициент $a = 1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
График функции получается из графика $y=x^2$ путем сдвига на 2 единицы вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy.
Найдем контрольные точки:
- Пересечение с осью Oy ( $x=0$ ): $y = 0^2 - 4(0) + 6 = 6$. Точка $(0; 6)$.
- Точка, симметричная $(0; 6)$ относительно оси симметрии $x=2$, — это точка $(4; 6)$.
- Пересечения с осью Ox нет, так как вершина $(2; 2)$ находится выше оси Ox и ветви направлены вверх.

График функции:

Ответ: $y = (x - 2)^2 + 2$.

2)Исходная функция: $y = x^2 + 6x + 7$.

Шаг 1: Выделение квадрата двучлена.
Для $x^2 + 6x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3$, нужно прибавить и отнять $3^2 = 9$.
$y = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 7$
$y = (x + 3)^2 - 2$

Шаг 2: Построение графика.
Вершина параболы находится в точке $(-3; -2)$.
Ветви параболы направлены вверх ( $a = 1 > 0$).
График получается из $y=x^2$ сдвигом на 3 единицы влево и на 2 единицы вниз.
Контрольные точки:
- Пересечение с осью Oy ( $x=0$ ): $y = 7$. Точка $(0; 7)$.
- Симметричная точка относительно оси $x=-3$ — $(-6; 7)$.
- Пересечение с осью Ox ( $y=0$ ): $(x+3)^2-2=0 \Rightarrow x = -3 \pm \sqrt{2}$. Точки $(-3 - \sqrt{2}; 0) \approx (-4.41; 0)$ и $(-3 + \sqrt{2}; 0) \approx (-1.59; 0)$.

График функции:

Ответ: $y = (x + 3)^2 - 2$.

3)Исходная функция: $y = x^2 - 2x - 3$.

Шаг 1: Выделение квадрата двучлена.
Для $x^2 - 2x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1$, нужно прибавить и отнять $1^2 = 1$.
$y = (x^2 - 2x + 1) - 1 - 3$
$y = (x - 1)^2 - 4$

Шаг 2: Построение графика.
Вершина параболы находится в точке $(1; -4)$.
Ветви параболы направлены вверх ( $a = 1 > 0$).
График получается из $y=x^2$ сдвигом на 1 единицу вправо и на 4 единицы вниз.
Контрольные точки:
- Пересечение с осью Oy ( $x=0$ ): $y = -3$. Точка $(0; -3)$.
- Симметричная точка относительно оси $x=1$ — $(2; -3)$.
- Пересечение с осью Ox ( $y=0$ ): $(x-1)^2-4=0 \Rightarrow (x-1)^2=4 \Rightarrow x-1=\pm 2$. Точки $x=3$ и $x=-1$. То есть, $(3; 0)$ и $(-1; 0)$.

График функции:

Ответ: $y = (x - 1)^2 - 4$.

4)Исходная функция: $y = -x^2 + 4x + 5$.

Шаг 1: Выделение квадрата двучлена.
Вынесем -1 за скобки у членов с $x$:
$y = -(x^2 - 4x) + 5$
Дополним выражение в скобках до полного квадрата:
$y = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5$
$y = -((x - 2)^2 - 4) + 5$
$y = -(x - 2)^2 + 4 + 5$
$y = -(x - 2)^2 + 9$

Шаг 2: Построение графика.
Вершина параболы находится в точке $(2; 9)$.
Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
График получается из $y=-x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо и на 9 единиц вверх.
Контрольные точки:
- Пересечение с осью Oy ( $x=0$ ): $y = 5$. Точка $(0; 5)$.
- Симметричная точка относительно оси $x=2$ — $(4; 5)$.
- Пересечение с осью Ox ( $y=0$ ): $-(x-2)^2+9=0 \Rightarrow (x-2)^2=9 \Rightarrow x-2=\pm 3$. Точки $x=5$ и $x=-1$. То есть, $(5; 0)$ и $(-1; 0)$.

График функции:

Ответ: $y = -(x - 2)^2 + 9$.

5)Исходная функция: $y = -2x^2 + 4x + 9$.

Шаг 1: Выделение квадрата двучлена.
Вынесем -2 за скобки:
$y = -2(x^2 - 2x) + 9$
Дополним до полного квадрата $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$:
$y = -2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 9$
$y = -2((x - 1)^2 - 1) + 9$
$y = -2(x - 1)^2 + 2 + 9$
$y = -2(x - 1)^2 + 11$

Шаг 2: Построение графика.
Вершина параболы находится в точке $(1; 11)$.
Коэффициент $a = -2 < 0$, ветви направлены вниз. Парабола будет "уже", чем $y=-x^2$.
График получается из $y=-2x^2$ сдвигом на 1 вправо и на 11 вверх.
Контрольные точки:
- Пересечение с осью Oy ( $x=0$ ): $y = 9$. Точка $(0; 9)$.
- Симметричная точка относительно оси $x=1$ — $(2; 9)$.
- Пересечение с осью Ox ( $y=0$ ): $-2(x-1)^2+11=0 \Rightarrow (x-1)^2=5.5 \Rightarrow x=1 \pm \sqrt{5.5}$. Точки $(1-\sqrt{5.5}; 0) \approx (-1.35; 0)$ и $(1+\sqrt{5.5}; 0) \approx (3.35; 0)$.

График функции:

Ответ: $y = -2(x - 1)^2 + 11$.

6)Исходная функция: $y = -3x^2 - 12x + 1$.

Шаг 1: Выделение квадрата двучлена.
Вынесем -3 за скобки:
$y = -3(x^2 + 4x) + 1$
Дополним до полного квадрата $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$:
$y = -3(x^2 + 4x + 4 - 4) + 1$
$y = -3((x + 2)^2 - 4) + 1$
$y = -3(x + 2)^2 + 12 + 1$
$y = -3(x + 2)^2 + 13$

Шаг 2: Построение графика.
Вершина параболы находится в точке $(-2; 13)$.
Коэффициент $a = -3 < 0$, ветви направлены вниз. Парабола "еще уже", чем в предыдущем примере.
График получается из $y=-3x^2$ сдвигом на 2 влево и на 13 вверх.
Контрольные точки:
- Пересечение с осью Oy ( $x=0$ ): $y = 1$. Точка $(0; 1)$.
- Симметричная точка относительно оси $x=-2$ — $(-4; 1)$.
- Пересечение с осью Ox ( $y=0$ ): $-3(x+2)^2+13=0 \Rightarrow (x+2)^2=13/3 \Rightarrow x=-2 \pm \sqrt{13/3}$. Точки $(-2 - \sqrt{13/3}; 0) \approx (-4.08; 0)$ и $(-2 + \sqrt{13/3}; 0) \approx (0.08; 0)$.

График функции:

Ответ: $y = -3(x + 2)^2 + 13$.

13.17. Для функции $y = -2(x - 3)^2 + 8$ найдите:

1) нули функции и наибольшее ее значение;

2) точки пересечения графика функции с осью $OY$;

3) координаты вершины параболы и ось симметрии;

4) промежутки возрастания и убывания.

1) нули функции и наибольшее ее значение;
Для того чтобы найти нули функции, необходимо приравнять значение функции $y$ к нулю и решить полученное уравнение:
$y = -2(x - 3)^2 + 8 = 0$
$-2(x - 3)^2 = -8$
$(x - 3)^2 = \frac{-8}{-2}$
$(x - 3)^2 = 4$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:
$x - 3 = 2$ или $x - 3 = -2$
$x_1 = 3 + 2 = 5$
$x_2 = 3 - 2 = 1$
Таким образом, нули функции — это $x=1$ и $x=5$.
Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Уравнение $y = -2(x - 3)^2 + 8$ записано в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$. Коэффициент $a = -2$, так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине параболы.
Координаты вершины $(h, k)$ равны $(3, 8)$.
Наибольшее значение функции равно ординате (y-координате) вершины, то есть $y_{max} = 8$.
Ответ: нули функции $x=1$, $x=5$; наибольшее значение функции равно $8$.

2) точки пересечения графика функции с осью ОУ;
Точка пересечения графика с осью ординат (ОУ) находится при условии, что абсцисса $x = 0$. Подставим это значение в уравнение функции:
$y = -2(0 - 3)^2 + 8$
$y = -2(-3)^2 + 8$
$y = -2(9) + 8$
$y = -18 + 8$
$y = -10$
Следовательно, точка пересечения с осью ОУ имеет координаты $(0, -10)$.
Ответ: $(0, -10)$.

3) координаты вершины параболы и ось симметрии;
Уравнение функции $y = -2(x - 3)^2 + 8$ представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины.
Из уравнения напрямую находим, что $h = 3$ и $k = 8$.
Таким образом, координаты вершины параболы: $(3, 8)$.
Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии имеет вид $x = h$.
Для данной функции осью симметрии является прямая $x = 3$.
Ответ: координаты вершины $(3, 8)$; ось симметрии $x=3$.

4) промежутки возрастания и убывания.
Поскольку ветви параболы направлены вниз ($a = -2 < 0$), функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает на промежутке справа от вершины.
Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x = 3$.
Следовательно, функция возрастает на промежутке, где $x \le 3$, то есть $x \in (-\infty, 3]$.
Функция убывает на промежутке, где $x \ge 3$, то есть $x \in [3, +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 3]$ и убывает на промежутке $[3, +\infty)$.