Номер 13.17, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.17. Для функции $y = -2(x - 3)^2 + 8$ найдите:

1) нули функции и наибольшее ее значение;

2) точки пересечения графика функции с осью $OY$;

3) координаты вершины параболы и ось симметрии;

4) промежутки возрастания и убывания.

1) нули функции и наибольшее ее значение;
Для того чтобы найти нули функции, необходимо приравнять значение функции $y$ к нулю и решить полученное уравнение:
$y = -2(x - 3)^2 + 8 = 0$
$-2(x - 3)^2 = -8$
$(x - 3)^2 = \frac{-8}{-2}$
$(x - 3)^2 = 4$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:
$x - 3 = 2$ или $x - 3 = -2$
$x_1 = 3 + 2 = 5$
$x_2 = 3 - 2 = 1$
Таким образом, нули функции — это $x=1$ и $x=5$.
Данная функция является квадратичной, ее график — парабола. Уравнение $y = -2(x - 3)^2 + 8$ записано в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$. Коэффициент $a = -2$, так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине параболы.
Координаты вершины $(h, k)$ равны $(3, 8)$.
Наибольшее значение функции равно ординате (y-координате) вершины, то есть $y_{max} = 8$.
Ответ: нули функции $x=1$, $x=5$; наибольшее значение функции равно $8$.

2) точки пересечения графика функции с осью ОУ;
Точка пересечения графика с осью ординат (ОУ) находится при условии, что абсцисса $x = 0$. Подставим это значение в уравнение функции:
$y = -2(0 - 3)^2 + 8$
$y = -2(-3)^2 + 8$
$y = -2(9) + 8$
$y = -18 + 8$
$y = -10$
Следовательно, точка пересечения с осью ОУ имеет координаты $(0, -10)$.
Ответ: $(0, -10)$.

3) координаты вершины параболы и ось симметрии;
Уравнение функции $y = -2(x - 3)^2 + 8$ представлено в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины.
Из уравнения напрямую находим, что $h = 3$ и $k = 8$.
Таким образом, координаты вершины параболы: $(3, 8)$.
Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии имеет вид $x = h$.
Для данной функции осью симметрии является прямая $x = 3$.
Ответ: координаты вершины $(3, 8)$; ось симметрии $x=3$.

4) промежутки возрастания и убывания.
Поскольку ветви параболы направлены вниз ($a = -2 < 0$), функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает на промежутке справа от вершины.
Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x = 3$.
Следовательно, функция возрастает на промежутке, где $x \le 3$, то есть $x \in (-\infty, 3]$.
Функция убывает на промежутке, где $x \ge 3$, то есть $x \in [3, +\infty)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 3]$ и убывает на промежутке $[3, +\infty)$.