Номер 13.11, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.11. Используя шаблон параболы $y = x^2$, постройте график, запишите координаты вершины параболы и нули функции:

1) $y = (x - 2)^2 - 3;$

2) $y = (x + 2)^2 - 1;$

3) $y = (x - 2,5)^2 - 3,4;$

4) $y = -(x - 1)^2 + 4;$

5) $y = -(x + 3)^2 - 3;$

6) $y = -(x - 3,2)^2 + 2,4.$

1) $y = (x - 2)^2 - 3$

График этой функции — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 2 единицы вправо по оси абсцисс и на 3 единицы вниз по оси ординат. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при квадрате равен 1 (положительный).

Координаты вершины параболы

Уравнение параболы в вершинной форме: $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h; k)$ — координаты вершины. Для данной функции $h = 2$ и $k = -3$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(2; -3)$.

Нули функции

Для нахождения нулей функции приравняем $y$ к нулю:
$(x - 2)^2 - 3 = 0$
$(x - 2)^2 = 3$
$x - 2 = \pm\sqrt{3}$
$x = 2 \pm\sqrt{3}$
Нули функции: $x_1 = 2 - \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 + \sqrt{3}$.

График функции

Ответ: Координаты вершины: $(2; -3)$; нули функции: $2 - \sqrt{3}$, $2 + \sqrt{3}$.

2) $y = (x + 2)^2 - 1$

График этой функции — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 2 единицы влево по оси абсцисс и на 1 единицу вниз по оси ординат. Ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины параболы

Уравнение можно записать как $y = (x - (-2))^2 - 1$. Здесь $h = -2$ и $k = -1$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-2; -1)$.

Нули функции

Приравняем $y$ к нулю:
$(x + 2)^2 - 1 = 0$
$(x + 2)^2 = 1$
$x + 2 = \pm 1$
$x = -2 \pm 1$
Нули функции: $x_1 = -2 - 1 = -3$ и $x_2 = -2 + 1 = -1$.

График функции

Ответ: Координаты вершины: $(-2; -1)$; нули функции: -3, -1.

3) $y = (x - 2,5)^2 - 3,4$

График этой функции — это парабола $y = x^2$, сдвинутая на 2,5 единицы вправо по оси абсцисс и на 3,4 единицы вниз по оси ординат. Ветви параболы направлены вверх.

Координаты вершины параболы

Здесь $h = 2,5$ и $k = -3,4$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(2,5; -3,4)$.

Нули функции

Приравняем $y$ к нулю:
$(x - 2,5)^2 - 3,4 = 0$
$(x - 2,5)^2 = 3,4$
$x - 2,5 = \pm\sqrt{3,4}$
$x = 2,5 \pm\sqrt{3,4}$
Нули функции: $x_1 = 2,5 - \sqrt{3,4}$ и $x_2 = 2,5 + \sqrt{3,4}$.

График функции

Ответ: Координаты вершины: $(2,5; -3,4)$; нули функции: $2,5 - \sqrt{3,4}$, $2,5 + \sqrt{3,4}$.

4) $y = -(x - 1)^2 + 4$

График этой функции — это парабола $y = -x^2$ (ветви вниз), сдвинутая на 1 единицу вправо по оси абсцисс и на 4 единицы вверх по оси ординат. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при квадрате равен -1 (отрицательный).

Координаты вершины параболы

Здесь $h = 1$ и $k = 4$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(1; 4)$.

Нули функции

Приравняем $y$ к нулю:
$-(x - 1)^2 + 4 = 0$
$(x - 1)^2 = 4$
$x - 1 = \pm 2$
$x = 1 \pm 2$
Нули функции: $x_1 = 1 - 2 = -1$ и $x_2 = 1 + 2 = 3$.

График функции

Ответ: Координаты вершины: $(1; 4)$; нули функции: -1, 3.

5) $y = -(x + 3)^2 - 3$

График этой функции — это парабола $y = -x^2$ (ветви вниз), сдвинутая на 3 единицы влево по оси абсцисс и на 3 единицы вниз по оси ординат. Ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы

Уравнение можно записать как $y = -(x - (-3))^2 - 3$. Здесь $h = -3$ и $k = -3$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-3; -3)$.

Нули функции

Приравняем $y$ к нулю:
$-(x + 3)^2 - 3 = 0$
$-(x + 3)^2 = 3$
$(x + 3)^2 = -3$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому у этого уравнения нет действительных корней. Функция не имеет нулей. Это также видно из того, что вершина находится в точке $(-3;-3)$, а ветви направлены вниз, поэтому график не пересекает ось Ox.

График функции

Ответ: Координаты вершины: $(-3; -3)$; нулей функции нет.

6) $y = -(x - 3,2)^2 + 2,4$

График этой функции — это парабола $y = -x^2$ (ветви вниз), сдвинутая на 3,2 единицы вправо по оси абсцисс и на 2,4 единицы вверх по оси ординат. Ветви параболы направлены вниз.

Координаты вершины параболы

Здесь $h = 3,2$ и $k = 2,4$.
Следовательно, вершина параболы находится в точке $(3,2; 2,4)$.

Нули функции

Приравняем $y$ к нулю:
$-(x - 3,2)^2 + 2,4 = 0$
$(x - 3,2)^2 = 2,4$
$x - 3,2 = \pm\sqrt{2,4}$
$x = 3,2 \pm\sqrt{2,4}$
Нули функции: $x_1 = 3,2 - \sqrt{2,4}$ и $x_2 = 3,2 + \sqrt{2,4}$.

График функции

Ответ: Координаты вершины: $(3,2; 2,4)$; нули функции: $3,2 - \sqrt{2,4}$, $3,2 + \sqrt{2,4}$.