Номер 13.6, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.6. Постройте график функции $y = \frac{2}{3}x^2 + 1$. По графику найдите:

1) значение $y$ при $x = -2,5; -1,5; 2,5;$

2) значение $x$ при $y = -2; 1,5; 4,5;$

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Для построения графика функции $y = \frac{2}{3}x^2 + 1$ определим её ключевые свойства. Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $\frac{2}{3}$, он положительный, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (2/3)} = 0$. Ордината вершины $y_0 = \frac{2}{3}(0)^2 + 1 = 1$. Таким образом, вершина параболы — точка $(0, 1)$.

Ось симметрии параболы — ось OY. Составим таблицу значений, выбирая симметричные относительно нуля значения x:

Построим график функции на координатной плоскости, используя эти точки.

Теперь найдем требуемые значения по графику.

1) значение y при x = -2,5; -1,5; 2,5;

Находим на оси абсцисс (оси x) заданные значения, мысленно проводим вертикальные линии до пересечения с графиком, а затем горизонтальные линии от точек пересечения до оси ординат (оси y).
При $x = -2,5$, по графику видно, что значение $y$ немного больше 5. Точный расчет: $y = \frac{2}{3}(-2,5)^2 + 1 = \frac{2}{3}(6,25) + 1 = \frac{12,5}{3} + 1 = \frac{15,5}{3} \approx 5,17$.
При $x = -1,5$, по графику $y = 2,5$. Точный расчет: $y = \frac{2}{3}(-1,5)^2 + 1 = \frac{2}{3}(2,25) + 1 = 1,5 + 1 = 2,5$.
При $x = 2,5$, в силу симметрии параболы относительно оси y, значение $y$ такое же, как и при $x = -2,5$, то есть $y \approx 5,17$.
Ответ: при $x = -2,5$, $y \approx 5,2$; при $x = -1,5$, $y = 2,5$; при $x = 2,5$, $y \approx 5,2$.

2) значение x при y = -2; 1,5; 4,5;

Находим на оси ординат (оси y) заданные значения, мысленно проводим горизонтальные линии до пересечения с графиком, а затем вертикальные линии от точек пересечения до оси абсцисс (оси x).
При $y = -2$, горизонтальная линия не пересекает график функции, так как наименьшее значение функции равно 1 (в вершине). Следовательно, решений нет.
При $y = 1,5$, горизонтальная линия пересекает график в двух точках. Абсциссы этих точек примерно равны $x \approx 0,9$ и $x \approx -0,9$.
При $y = 4,5$, горизонтальная линия пересекает график в двух точках. Абсциссы этих точек примерно равны $x \approx 2,3$ и $x \approx -2,3$.
Ответ: при $y = -2$ значений $x$ нет; при $y = 1,5$, $x \approx \pm 0,9$; при $y = 4,5$, $x \approx \pm 2,3$.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от вершины.
Функция убывает, когда $x$ изменяется от $-\infty$ до $0$.
Функция возрастает, когда $x$ изменяется от $0$ до $+\infty$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$, убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.