Номер 12.35, страница 107 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.35. Найдите координаты точки пересечения графиков функций:

1) $y = 2x$ и $y = \sqrt{x}$;

2) $y = -2x^2$ и $y = 3x - 5$;

3) $y = -3|x|$ и $y = x^2$;

4) $y = -1,2x + 18$ и $y = 3x^2$.

1) Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = 2x$ и $y = \sqrt{x}$, приравняем их правые части:

$2x = \sqrt{x}$

Область допустимых значений для этого уравнения определяется условием $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(2x)^2 = (\sqrt{x})^2$

$4x^2 = x$

Перенесем все члены в одну сторону и решим уравнение:

$4x^2 - x = 0$

$x(4x - 1) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$

$4x - 1 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{1}{4}$

Оба корня удовлетворяют условию $x \ge 0$. Теперь найдем соответствующие значения $y$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = 2 \cdot 0 = 0$. Первая точка пересечения: $(0, 0)$.

При $x_2 = \frac{1}{4}$, $y_2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$. Вторая точка пересечения: $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$.

Ответ: $(0, 0)$, $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$.

2) Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = -2x^2$ и $y = 3x - 5$, приравняем их правые части:

$-2x^2 = 3x - 5$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$2x^2 + 3x - 5 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49 = 7^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-3 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в одно из уравнений (например, $y=3x-5$):

При $x_1 = 1$, $y_1 = 3 \cdot 1 - 5 = -2$. Первая точка пересечения: $(1, -2)$.

При $x_2 = -2.5$, $y_2 = 3 \cdot (-2.5) - 5 = -7.5 - 5 = -12.5$. Вторая точка пересечения: $(-2.5, -12.5)$.

Ответ: $(1, -2)$, $(-2.5, -12.5)$.

3) Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = -3|x|$ и $y = x^2$, приравняем их правые части:

$x^2 = -3|x|$

Заметим, что левая часть уравнения, $x^2$, всегда неотрицательна ($x^2 \ge 0$), а правая часть, $-3|x|$, всегда неположительна ($-3|x| \le 0$). Равенство возможно только в том случае, когда обе части равны нулю.

$x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$

$-3|x| = 0 \Rightarrow x = 0$

Таким образом, единственное решение — $x = 0$. Найдем соответствующее значение $y$:

$y = 0^2 = 0$

Единственная точка пересечения — $(0, 0)$.

Ответ: $(0, 0)$.

4) Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = -1.2x + 18$ и $y = 3x^2$, приравняем их правые части:

$3x^2 = -1.2x + 18$

Перенесем все члены в одну сторону:

$3x^2 + 1.2x - 18 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби, а затем разделим на 6:

$30x^2 + 12x - 180 = 0 \quad | : 6$

$5x^2 + 2x - 30 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-30) = 4 + 600 = 604$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{604} = \sqrt{4 \cdot 151} = 2\sqrt{151}$.

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{604}}{2 \cdot 5} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{151}}{10} = \frac{-1 \pm \sqrt{151}}{5}$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{151}}{5}$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{151}}{5}$

Найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение $y = 3x^2$:

Для $x_1 = \frac{-1 + \sqrt{151}}{5}$:

$y_1 = 3\left(\frac{-1 + \sqrt{151}}{5}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1 - 2\sqrt{151} + 151}{25} = 3 \cdot \frac{152 - 2\sqrt{151}}{25} = \frac{456 - 6\sqrt{151}}{25}$

Для $x_2 = \frac{-1 - \sqrt{151}}{5}$:

$y_2 = 3\left(\frac{-1 - \sqrt{151}}{5}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1 + 2\sqrt{151} + 151}{25} = 3 \cdot \frac{152 + 2\sqrt{151}}{25} = \frac{456 + 6\sqrt{151}}{25}$

Точки пересечения:

$(\frac{-1 + \sqrt{151}}{5}, \frac{456 - 6\sqrt{151}}{25})$ и $(\frac{-1 - \sqrt{151}}{5}, \frac{456 + 6\sqrt{151}}{25})$

Ответ: $(\frac{-1 + \sqrt{151}}{5}, \frac{456 - 6\sqrt{151}}{25})$, $(\frac{-1 - \sqrt{151}}{5}, \frac{456 + 6\sqrt{151}}{25})$.