Номер 12.28, страница 106 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.28. На фабрике за смену в первом цехе сшили 320 костюмов, во втором — 270 костюмов. В первом цехе шили в час на 2 костюма меньше, чем во втором, и работали на 5 часов больше. Сколько костюмов в час шили в первом цехе?

Пусть $x$ костюмов в час — производительность первого цеха.

Поскольку в первом цехе шили на 2 костюма в час меньше, чем во втором, производительность второго цеха составляет $(x+2)$ костюмов в час.

Время работы первого цеха для пошива 320 костюмов составляет $t_1 = \frac{320}{x}$ часов.

Время работы второго цеха для пошива 270 костюмов составляет $t_2 = \frac{270}{x+2}$ часов.

Известно, что первый цех работал на 5 часов больше второго. Составим уравнение:

$t_1 - t_2 = 5$

$\frac{320}{x} - \frac{270}{x+2} = 5$

Решим это уравнение относительно $x$. Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+2)$, предполагая, что $x > 0$:

$\frac{320(x+2) - 270x}{x(x+2)} = 5$

$320(x+2) - 270x = 5x(x+2)$

Раскроем скобки и упростим:

$320x + 640 - 270x = 5x^2 + 10x$

$50x + 640 = 5x^2 + 10x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$5x^2 - 40x - 640 = 0$

Разделим все уравнение на 5 для упрощения:

$x^2 - 8x - 128 = 0$

Найдем корни по формуле для квадратного уравнения, вычислив дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-128) = 64 + 512 = 576$

$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 24}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 24}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Корень $x_2 = -8$ не имеет физического смысла, так как производительность не может быть отрицательной. Следовательно, производительность первого цеха составляет 16 костюмов в час.

Выполним проверку.

Производительность первого цеха: 16 костюмов/час. Время работы: $320 \div 16 = 20$ часов.

Производительность второго цеха: $16 + 2 = 18$ костюмов/час. Время работы: $270 \div 18 = 15$ часов.

Разница во времени: $20 - 15 = 5$ часов. Условия задачи выполнены.

Ответ: 16 костюмов в час.