Страница 106 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

12.24. Двое рабочих на автокаре разгружали баржу с продуктами. Первый разгружал на 50 ц в час больше второго и разгрузил 300 ц, при этом он работал на 2 часа меньше второго. Второй рабочий разгрузил 250 ц. Сколько часов работал каждый рабочий?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это время, которое работал второй рабочий, в часах. Согласно условию, первый рабочий работал на 2 часа меньше, следовательно, время его работы составляет $(x-2)$ часа. Так как время работы должно быть положительной величиной, то $x > 2$.

Зная объем выполненной работы и время, можно найти производительность каждого рабочего (скорость разгрузки). Объем работы первого рабочего равен 300 ц, а второго — 250 ц.

Производительность второго рабочего: $v_2 = \frac{250}{x}$ ц/ч.

Производительность первого рабочего: $v_1 = \frac{300}{x-2}$ ц/ч.

По условию задачи, первый рабочий разгружал на 50 ц в час больше второго. Это можно выразить уравнением: $v_1 = v_2 + 50$ или $v_1 - v_2 = 50$. Подставим в это уравнение выражения для производительностей:

$\frac{300}{x-2} - \frac{250}{x} = 50$

Для решения этого рационального уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-2)$:

$\frac{300x - 250(x-2)}{x(x-2)} = 50$

$\frac{300x - 250x + 500}{x^2 - 2x} = 50$

$\frac{50x + 500}{x^2 - 2x} = 50$

Так как мы установили, что $x>2$, знаменатель $x(x-2)$ не равен нулю. Умножим обе части уравнения на знаменатель и разделим на 50:

$50x + 500 = 50(x^2 - 2x)$

$x + 10 = x^2 - 2x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - x - 10 = 0$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 3, а их произведение равно -10. Этим условиям удовлетворяют числа 5 и -2. Или можно найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$

$x_1 = \frac{3+7}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{3-7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию задачи, так как время не может быть отрицательным (а также условию $x>2$). Следовательно, время работы второго рабочего составляет $x = 5$ часов.

Теперь найдем время работы первого рабочего:

$x - 2 = 5 - 2 = 3$ часа.

Ответ: первый рабочий работал 3 часа, второй рабочий работал 5 часов.

12.25. На строительстве железной дороги работали две путевые бригады. Первая бригада ежедневно прокладывала на 40 м путей больше второй и проложила 270 м железнодорожного пути. Вторая бригада работала на 2 дня больше первой и проложила 250 м. Сколько дней работала каждая бригада?

Пусть $v_1$ (м/день) и $t_1$ (дней) — производительность и время работы первой бригады, а $v_2$ (м/день) и $t_2$ (дней) — производительность и время работы второй бригады.
Исходя из условий задачи, составим систему уравнений:
1. Производительность первой бригады на 40 м/день больше второй: $v_1 = v_2 + 40$.
2. Общий объем работы первой бригады — 270 м: $v_1 \cdot t_1 = 270$.
3. Вторая бригада работала на 2 дня больше первой: $t_2 = t_1 + 2$.
4. Общий объем работы второй бригады — 250 м: $v_2 \cdot t_2 = 250$.
Наша цель — найти $t_1$ и $t_2$. Для этого выразим производительности $v_1$ и $v_2$ через время и подставим в первое уравнение.
Из уравнения (2) получаем: $v_1 = \frac{270}{t_1}$.
Из уравнений (3) и (4) получаем: $v_2 = \frac{250}{t_2} = \frac{250}{t_1 + 2}$.
Подставим эти выражения в уравнение (1):
$\frac{270}{t_1} = \frac{250}{t_1 + 2} + 40$
Решим полученное рациональное уравнение. Умножим обе части на общий знаменатель $t_1(t_1 + 2)$, при условии, что $t_1 \ne 0$ и $t_1 \ne -2$:
$270(t_1 + 2) = 250 \cdot t_1 + 40 \cdot t_1(t_1 + 2)$
Раскроем скобки:
$270t_1 + 540 = 250t_1 + 40t_1^2 + 80t_1$
Приведем подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном квадратном виде $ax^2 + bx + c = 0$:
$270t_1 + 540 = 330t_1 + 40t_1^2$
$40t_1^2 + 330t_1 - 270t_1 - 540 = 0$
$40t_1^2 + 60t_1 - 540 = 0$
Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 20:
$2t_1^2 + 3t_1 - 27 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225$
$\sqrt{D} = 15$
Теперь найдем значения $t_1$:
$t_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$
$t_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-18}{4} = -4.5$
Поскольку время работы ($t_1$) не может быть отрицательным, единственное подходящее решение — $t_1 = 3$.
Таким образом, первая бригада работала 3 дня.
Теперь найдем время работы второй бригады, используя соотношение $t_2 = t_1 + 2$:
$t_2 = 3 + 2 = 5$
Вторая бригада работала 5 дней.
Ответ: первая бригада работала 3 дня, вторая бригада работала 5 дней.

12.26. Аквариум наполняется водой, поступающей в него через две трубки, за 3 часа. За сколько часов может наполниться аквариум через первую трубку, если ей требуется для этого на 2,5 часа меньше, чем второй?

Пусть $x$ часов — время, за которое первая труба может наполнить аквариум. Согласно условию, первой трубе требуется на 2,5 часа меньше, чем второй, следовательно, вторая труба наполнит аквариум за $(x + 2,5)$ часа. Производительность (часть аквариума, наполняемая за час) первой трубы составляет $\frac{1}{x}$, а второй — $\frac{1}{x + 2,5}$. Когда обе трубы работают вместе, их общая производительность равна сумме их производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2,5}$. По условию, вместе они наполняют аквариум за 3 часа, значит, их общая производительность равна $\frac{1}{3}$ аквариума в час. Составим и решим уравнение: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 2,5} = \frac{1}{3}$. Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{x + 2,5 + x}{x(x + 2,5)} = \frac{1}{3}$, что упрощается до $\frac{2x + 2,5}{x^2 + 2,5x} = \frac{1}{3}$. Используя правило пропорции, получаем: $3(2x + 2,5) = x^2 + 2,5x$, или $6x + 7,5 = x^2 + 2,5x$. Приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $x^2 - 3,5x - 7,5 = 0$. Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей: $2x^2 - 7x - 15 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 13}{4} = \frac{20}{4} = 5$ и $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 13}{4} = \frac{-6}{4} = -1,5$. Так как время не может быть отрицательным, корень $x_2 = -1,5$ не является решением задачи. Таким образом, первой трубе для наполнения аквариума требуется 5 часов. Ответ: 5 часов.

12.27. На мебельной фабрике две бригады должны были изготовить по 180 книжных полок. Первая бригада в час изготовляла на 2 полки больше, чем вторая, поэтому закончила работу на 3 часа раньше. За сколько часов каждая бригада выполнила задание?

Пусть $x$ (полок/час) — производительность второй бригады. Тогда производительность первой бригады, которая изготовляла на 2 полки в час больше, составляет $x + 2$ (полок/час).

Общий объем работы для каждой бригады — 180 полок. Время выполнения работы определяется как отношение объема работы к производительности.

Время, которое потребовалось второй бригаде: $t_2 = \frac{180}{x}$ часов.

Время, которое потребовалось первой бригаде: $t_1 = \frac{180}{x+2}$ часов.

Согласно условию, первая бригада закончила работу на 3 часа раньше второй, что можно выразить уравнением:$t_2 - t_1 = 3$

Подставим выражения для времени в это уравнение:$\frac{180}{x} - \frac{180}{x+2} = 3$

Для решения уравнения найдем общий знаменатель $x(x+2)$ и умножим на него обе части уравнения, учитывая, что производительность $x$ должна быть положительной ($x > 0$):$180(x+2) - 180x = 3x(x+2)$

Раскроем скобки и упростим выражение:$180x + 360 - 180x = 3x^2 + 6x$$360 = 3x^2 + 6x$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, предварительно разделив все члены на 3:$x^2 + 2x = 120$$x^2 + 2x - 120 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 4 + 480 = 484$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 22}{2} = \frac{20}{2} = 10$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{484}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 22}{2} = \frac{-24}{2} = -12$

Корень $x_2 = -12$ не имеет физического смысла, так как производительность не может быть отрицательной. Поэтому производительность второй бригады равна $x = 10$ полок в час.

Производительность первой бригады, соответственно, равна: $x + 2 = 10 + 2 = 12$ полок в час.

Теперь можем найти время, затраченное каждой бригадой на выполнение всего задания (180 полок):

Время работы первой бригады: $t_1 = \frac{180}{12} = 15$ часов.

Время работы второй бригады: $t_2 = \frac{180}{10} = 18$ часов.

Проверка: разница во времени составляет $18 - 15 = 3$ часа, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: первая бригада выполнила задание за 15 часов, а вторая бригада — за 18 часов.

12.28. На фабрике за смену в первом цехе сшили 320 костюмов, во втором — 270 костюмов. В первом цехе шили в час на 2 костюма меньше, чем во втором, и работали на 5 часов больше. Сколько костюмов в час шили в первом цехе?

Пусть $x$ костюмов в час — производительность первого цеха.

Поскольку в первом цехе шили на 2 костюма в час меньше, чем во втором, производительность второго цеха составляет $(x+2)$ костюмов в час.

Время работы первого цеха для пошива 320 костюмов составляет $t_1 = \frac{320}{x}$ часов.

Время работы второго цеха для пошива 270 костюмов составляет $t_2 = \frac{270}{x+2}$ часов.

Известно, что первый цех работал на 5 часов больше второго. Составим уравнение:

$t_1 - t_2 = 5$

$\frac{320}{x} - \frac{270}{x+2} = 5$

Решим это уравнение относительно $x$. Приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+2)$, предполагая, что $x > 0$:

$\frac{320(x+2) - 270x}{x(x+2)} = 5$

$320(x+2) - 270x = 5x(x+2)$

Раскроем скобки и упростим:

$320x + 640 - 270x = 5x^2 + 10x$

$50x + 640 = 5x^2 + 10x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$5x^2 - 40x - 640 = 0$

Разделим все уравнение на 5 для упрощения:

$x^2 - 8x - 128 = 0$

Найдем корни по формуле для квадратного уравнения, вычислив дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-128) = 64 + 512 = 576$

$x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 24}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{576}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 24}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Корень $x_2 = -8$ не имеет физического смысла, так как производительность не может быть отрицательной. Следовательно, производительность первого цеха составляет 16 костюмов в час.

Выполним проверку.

Производительность первого цеха: 16 костюмов/час. Время работы: $320 \div 16 = 20$ часов.

Производительность второго цеха: $16 + 2 = 18$ костюмов/час. Время работы: $270 \div 18 = 15$ часов.

Разница во времени: $20 - 15 = 5$ часов. Условия задачи выполнены.

Ответ: 16 костюмов в час.

12.29. В газовое хранилище проведены три трубы. Через первую трубу хранилище наполняется за 6 часов, через вторую — за 8 часов, через третью весь газ из наполненного хранилища подается потребителям за 12 часов. За какое время наполнится хранилище газом, если будут действовать одновременно все три трубы?

Для решения этой задачи необходимо определить производительность (скорость работы) каждой трубы. Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени. Примем весь объем газового хранилища за 1.

1. Производительность первой трубы.
Первая труба наполняет хранилище за 6 часов. Следовательно, ее производительность составляет $P_1 = \frac{1}{6}$ объема хранилища в час.

2. Производительность второй трубы.
Вторая труба наполняет хранилище за 8 часов. Ее производительность составляет $P_2 = \frac{1}{8}$ объема хранилища в час.

3. Производительность третьей трубы.
Третья труба опустошает полное хранилище за 12 часов. Ее производительность составляет $P_3 = \frac{1}{12}$ объема хранилища в час. Поскольку эта труба работает на опустошение, при расчете общей скорости наполнения ее производительность будет вычитаться.

4. Общая производительность.
Чтобы найти общую скорость наполнения хранилища при одновременной работе всех трех труб, нужно сложить производительности наполняющих труб и вычесть производительность опустошающей трубы:
$P_{общая} = P_1 + P_2 - P_3 = \frac{1}{6} + \frac{1}{8} - \frac{1}{12}$

Для выполнения сложения и вычитания приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 6, 8 и 12 равно 24.
$P_{общая} = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} - \frac{2}{24} = \frac{4 + 3 - 2}{24} = \frac{5}{24}$
Это означает, что за один час совместной работы всех трех труб хранилище наполняется на $\frac{5}{24}$ своего объема.

5. Расчет времени наполнения.
Чтобы найти общее время $T$, необходимое для полного наполнения хранилища (т.е. для выполнения работы, равной 1), нужно разделить работу на общую производительность:
$T = \frac{1}{P_{общая}} = \frac{1}{\frac{5}{24}} = \frac{24}{5}$ часа.

Для удобства переведем это значение в часы и минуты:
$T = \frac{24}{5} = 4.8$ часа.
$0.8$ часа $= 0.8 \cdot 60 = 48$ минут.
Таким образом, общее время наполнения составит 4 часа 48 минут.

Ответ: хранилище наполнится газом за 4 часа 48 минут.

12.30. Два трактора различной мощности могут совместно вспахать все поле за 90 часов работы. Если бы первый трактор работал один 12 часов, затем второй 20 часов, то было бы вспахано только 20% от площади всего поля. Сколько времени потребуется каждому трактору на вспашку всего поля?

Примем всю работу по вспашке поля за 1 (единицу).

Пусть $x$ часов — это время, за которое первый трактор может вспахать все поле, работая в одиночку. Тогда его производительность (часть поля, вспахиваемая за 1 час) составляет $p_1 = \frac{1}{x}$.

Пусть $y$ часов — это время, за которое второй трактор может вспахать все поле, работая в одиночку. Тогда его производительность составляет $p_2 = \frac{1}{y}$.

Из первого условия известно, что оба трактора, работая совместно, вспахивают поле за 90 часов. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $p_1 + p_2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Работа равна произведению производительности на время, поэтому мы можем составить первое уравнение:

$( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ) \cdot 90 = 1$, что равносильно $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{90}$.

Из второго условия известно, что если первый трактор работает 12 часов, а затем второй — 20 часов, то они вспахивают 20% поля. 20% — это $0.2$ или $\frac{1}{5}$ часть поля. Работа, выполненная первым трактором, равна $12 \cdot p_1 = \frac{12}{x}$. Работа, выполненная вторым трактором, равна $20 \cdot p_2 = \frac{20}{y}$. Суммарная работа составляет:

$\frac{12}{x} + \frac{20}{y} = \frac{1}{5}$. Это наше второе уравнение.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{90} \\ \frac{12}{x} + \frac{20}{y} = \frac{1}{5}\end{cases}$

Для удобства решения можно сделать замену переменных. Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. Система примет вид:

$\begin{cases} a + b = \frac{1}{90} \\ 12a + 20b = \frac{1}{5}\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = \frac{1}{90} - a$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$12a + 20(\frac{1}{90} - a) = \frac{1}{5}$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $a$:

$12a + \frac{20}{90} - 20a = \frac{1}{5}$

$12a - 20a = \frac{1}{5} - \frac{2}{9}$

$-8a = \frac{9}{45} - \frac{10}{45}$

$-8a = -\frac{1}{45}$

$a = \frac{1}{45 \cdot 8} = \frac{1}{360}$

Поскольку $a = \frac{1}{x}$, то $x = \frac{1}{a} = 360$. Значит, первому трактору для вспашки всего поля требуется 360 часов.

Теперь найдем $b$, подставив значение $a$ в выражение для $b$:

$b = \frac{1}{90} - a = \frac{1}{90} - \frac{1}{360}$

Приведем дроби к общему знаменателю 360:

$b = \frac{4}{360} - \frac{1}{360} = \frac{3}{360} = \frac{1}{120}$

Поскольку $b = \frac{1}{y}$, то $y = \frac{1}{b} = 120$. Значит, второму трактору для вспашки всего поля требуется 120 часов.

Ответ: первому трактору потребуется 360 часов, а второму — 120 часов, чтобы вспахать все поле в одиночку.

12.31. Из города в деревню вышел пешеход. Через 45 минут после его выхода в том же направлении выехал велосипедист, который через полчаса был позади пешехода на 2,5 км, еще через полчаса велосипедист был на полкилометра от деревни дальше, чем пешеход. Какова скорость пешехода и велосипедиста, если длина пути от города до деревни равна 30 км?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений на основе данных из условия.

Пусть $v_п$ — скорость пешехода в км/ч, а $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч.

Пешеход вышел из города и шёл 45 минут, прежде чем выехал велосипедист. Переведем минуты в часы: 45 минут = $45/60$ часа = $0.75$ часа. Полчаса = $30/60$ часа = $0.5$ часа.

Рассмотрим первую ситуацию: через полчаса после выезда велосипедиста он был позади пешехода на 2,5 км. К этому моменту времени пешеход был в пути $0.75$ ч + $0.5$ ч = $1.25$ часа. Велосипедист был в пути $0.5$ часа. Расстояние, которое прошел пешеход от города: $S_п = v_п \cdot 1.25$. Расстояние, которое проехал велосипедист от города: $S_в = v_в \cdot 0.5$. Поскольку велосипедист был позади пешехода на 2,5 км, расстояние, пройденное пешеходом, было на 2,5 км больше. Получаем первое уравнение: $1.25 v_п - 0.5 v_в = 2.5$

Рассмотрим вторую ситуацию: еще через полчаса велосипедист был на полкилометра (0,5 км) от деревни дальше, чем пешеход. Этот момент времени наступил через $0.5$ часа после первого. Общее время пешехода в пути: $1.25$ ч + $0.5$ ч = $1.75$ часа. Общее время велосипедиста в пути: $0.5$ ч + $0.5$ ч = $1$ час. Расстояние пешехода от города: $S_{п2} = v_п \cdot 1.75$. Расстояние велосипедиста от города: $S_{в2} = v_в \cdot 1$. Расстояние от города до деревни равно 30 км. Расстояние пешехода до деревни: $30 - S_{п2} = 30 - 1.75 v_п$. Расстояние велосипедиста до деревни: $30 - S_{в2} = 30 - v_в$. По условию, расстояние велосипедиста до деревни на 0,5 км больше, чем расстояние пешехода до деревни. Получаем второе уравнение: $(30 - v_в) = (30 - 1.75 v_п) + 0.5$ $30 - v_в = 30.5 - 1.75 v_п$ $1.75 v_п - v_в = 0.5$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} 1.25 v_п - 0.5 v_в = 2.5 \\ 1.75 v_п - v_в = 0.5 \end{cases} $

Выразим $v_в$ из второго уравнения: $v_в = 1.75 v_п - 0.5$

Подставим это выражение в первое уравнение: $1.25 v_п - 0.5(1.75 v_п - 0.5) = 2.5$ $1.25 v_п - 0.875 v_п + 0.25 = 2.5$ $0.375 v_п = 2.5 - 0.25$ $0.375 v_п = 2.25$ $v_п = \frac{2.25}{0.375} = \frac{2250}{375} = 6$ Таким образом, скорость пешехода $v_п = 6$ км/ч.

Теперь найдем скорость велосипедиста, подставив значение $v_п$ в выражение для $v_в$: $v_в = 1.75 \cdot 6 - 0.5$ $v_в = 10.5 - 0.5 = 10$ Таким образом, скорость велосипедиста $v_в = 10$ км/ч.

Ответ: скорость пешехода равна 6 км/ч, а скорость велосипедиста — 10 км/ч.