Страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.18. Постройте график и укажите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $y = |x^2 - 4|$;

2) $y = |8 - 2x^2|$;

3) $y = |x^2 - 3x|$;

4) $y = |-x^2 - 5x|$.

Для построения графика функции вида $y = |f(x)|$, где $f(x)$ — квадратичная функция, необходимо:

1. Построить график параболы $y = f(x)$.

2. Часть графика, расположенную выше или на оси Ox ($f(x) \ge 0$), оставить без изменений.

3. Часть графика, расположенную ниже оси Ox ($f(x) < 0$), симметрично отразить относительно оси Ox.

Промежутки возрастания и убывания определяются по итоговому графику. Точками, в которых может меняться характер монотонности, являются вершины параболы и точки пересечения с осью Ox.

1) $y = |x^2 - 4|$

Сначала построим график параболы $y = x^2 - 4$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$). Координаты вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$; $y_в = 0^2 - 4 = -4$. Вершина в точке $(0, -4)$. Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции): $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) = 0 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2$. Парабола находится ниже оси Ox на интервале $(-2, 2)$. Для построения графика $y = |x^2 - 4|$ мы отражаем часть параболы на интервале $(-2, 2)$ относительно оси Ox. Вершина $(0, -4)$ перейдет в точку $(0, 4)$.

Из графика видно, что:

• Функция убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, 2]$.

• Функция возрастает на промежутках $[-2, 0]$ и $[2, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, 2]$, возрастает на промежутках $[-2, 0]$ и $[2, +\infty)$.

2) $y = |8 - 2x^2|$

Построим график параболы $y = 8 - 2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз ($a=-2<0$). Координаты вершины: $x_в = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0$; $y_в = 8 - 2 \cdot 0^2 = 8$. Вершина в точке $(0, 8)$. Нули функции: $8 - 2x^2 = 0 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2$. Парабола находится ниже оси Ox на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(2, +\infty)$. Для построения графика $y = |8 - 2x^2|$ мы отражаем части параболы на этих интервалах относительно оси Ox.

Из графика видно, что:

• Функция убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, 2]$.

• Функция возрастает на промежутках $[-2, 0]$ и $[2, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, 2]$, возрастает на промежутках $[-2, 0]$ и $[2, +\infty)$.

3) $y = |x^2 - 3x|$

Построим график параболы $y = x^2 - 3x$. Ветви направлены вверх ($a=1>0$). Вершина: $x_в = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$; $y_в = (1.5)^2 - 3(1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$. Вершина в точке $(1.5, -2.25)$. Нули функции: $x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x - 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 3$. Парабола находится ниже оси Ox на интервале $(0, 3)$. Отражаем эту часть параболы относительно оси Ox. Вершина $(1.5, -2.25)$ перейдет в точку $(1.5, 2.25)$.

Из графика видно, что:

• Функция убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1.5, 3]$.

• Функция возрастает на промежутках $[0, 1.5]$ и $[3, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1.5, 3]$, возрастает на промежутках $[0, 1.5]$ и $[3, +\infty)$.

4) $y = |-x^2 - 5x|$

Используем свойство модуля: $|-a| = |a|$. Таким образом, $y = |-x^2 - 5x| = |-(x^2+5x)| = |x^2 + 5x|$. Построим график параболы $y = x^2 + 5x$. Ветви направлены вверх ($a=1>0$). Вершина: $x_в = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2.5$; $y_в = (-2.5)^2 + 5(-2.5) = 6.25 - 12.5 = -6.25$. Вершина в точке $(-2.5, -6.25)$. Нули функции: $x^2 + 5x = 0 \Rightarrow x(x + 5) = 0 \Rightarrow x_1 = -5, x_2 = 0$. Парабола находится ниже оси Ox на интервале $(-5, 0)$. Отражаем эту часть параболы относительно оси Ox. Вершина $(-2.5, -6.25)$ перейдет в точку $(-2.5, 6.25)$.

Из графика видно, что:

• Функция убывает на промежутках $(-\infty, -5]$ и $[-2.5, 0]$.

• Функция возрастает на промежутках $[-5, -2.5]$ и $[0, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -5]$ и $[-2.5, 0]$, возрастает на промежутках $[-5, -2.5]$ и $[0, +\infty)$.

13.19. Постройте график, укажите множество значений, промежутки убывания и возрастания функции:

1) $y = |x^2 - 9|;$

2) $y = |24 - 6x^2|;$

3) $y = |x^2 + 3x|;$

4) $y = |-x^2 - 5x| + 2.$

1) $y = |x^2 - 9|$

Для построения графика функции $y = |x^2 - 9|$ сначала построим параболу $y_1 = x^2 - 9$. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 9 единиц вниз по оси OY. Ветви параболы направлены вверх. Вершина находится в точке $(0, -9)$. Парабола пересекает ось OX в точках, где $x^2 - 9 = 0$, то есть в $x = -3$ и $x = 3$.
Затем, согласно определению модуля, часть графика $y_1 = x^2 - 9$, которая лежит ниже оси OX (где $y_1 < 0$), симметрично отражается относительно оси OX. Часть графика, которая находится выше или на оси OX, остается без изменений. Таким образом, участок параболы на интервале $(-3, 3)$ отражается вверх, и вершина $(0, -9)$ переходит в точку $(0, 9)$.

Множество значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.
Промежутки убывания: $(-\infty; -3]$ и $[0; 3]$.
Промежутки возрастания: $[-3; 0]$ и $[3; +\infty)$.

Ответ: Множество значений: $[0; +\infty)$; функция убывает на $(-\infty; -3]$ и $[0; 3]$, возрастает на $[-3; 0]$ и $[3; +\infty)$.

2) $y = |24 - 6x^2|$

Построение графика функции $y = |24 - 6x^2|$ аналогично предыдущему. Сначала строим параболу $y_1 = 24 - 6x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный. Вершина параболы находится в точке $x_v = -b/(2a) = 0$, $y_v = 24$. Точка вершины: $(0, 24)$. Нули функции: $24 - 6x^2 = 0 \Rightarrow 6x^2 = 24 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.
Применяем операцию модуля: части параболы, находящиеся ниже оси OX (при $x < -2$ и $x > 2$), отражаются симметрично относительно оси OX. Часть параболы на интервале $[-2, 2]$ остается на месте.

Множество значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.
Промежутки убывания: $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$.
Промежутки возрастания: $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$.

Ответ: Множество значений: $[0; +\infty)$; функция убывает на $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$, возрастает на $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$.

3) $y = |x^2 + 3x|$

Строим график по алгоритму. Сначала парабола $y_1 = x^2 + 3x$. Ветви вверх. Нули функции: $x(x+3)=0$, т.е. $x=0$ и $x=-3$. Вершина параболы: $x_v = -b/(2a) = -3/2 = -1.5$, $y_v = (-1.5)^2 + 3(-1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$. Вершина в точке $(-1.5, -2.25)$.
Часть параболы на интервале $(-3, 0)$ лежит ниже оси OX, поэтому отражаем ее симметрично вверх. Вершина $(-1.5, -2.25)$ переходит в точку $(-1.5, 2.25)$, которая становится локальным максимумом.

Множество значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.
Промежутки убывания: $(-\infty; -3]$ и $[-1.5; 0]$.
Промежутки возрастания: $[-3; -1.5]$ и $[0; +\infty)$.

Ответ: Множество значений: $[0; +\infty)$; функция убывает на $(-\infty; -3]$ и $[-1.5; 0]$, возрастает на $[-3; -1.5]$ и $[0; +\infty)$.

4) $y = |-x^2 - 5x| + 2$

Сначала упростим выражение: $|-x^2 - 5x| = |-(x^2 + 5x)| = |x^2 + 5x|$. Таким образом, функция имеет вид $y = |x^2 + 5x| + 2$.
Построение графика выполняется в два шага:
1. Строим график функции $y_1 = |x^2 + 5x|$. Для этого сначала рассматриваем параболу $y_2 = x^2 + 5x$. Её ветви направлены вверх, нули находятся в точках $x=0$ и $x=-5$. Вершина: $x_v = -5/2 = -2.5$, $y_v = (-2.5)^2 + 5(-2.5) = -6.25$. Часть параболы на интервале $(-5, 0)$ отражаем вверх. Получаем график $y_1$ с локальным максимумом в точке $(-2.5, 6.25)$.
2. Сдвигаем весь график $y_1$ на 2 единицы вверх по оси OY, чтобы получить искомый график $y = |x^2 + 5x| + 2$. Все точки графика смещаются на 2 единицы вверх.
Локальный максимум переместится из $(-2.5, 6.25)$ в точку $(-2.5, 8.25)$. Точки "излома" (локальные минимумы) переместятся из $(-5, 0)$ и $(0, 0)$ в точки $(-5, 2)$ и $(0, 2)$.

Множество значений функции: Минимальное значение функции равно 2. $E(y) = [2; +\infty)$.
Промежутки убывания: $(-\infty; -5]$ и $[-2.5; 0]$.
Промежутки возрастания: $[-5; -2.5]$ и $[0; +\infty)$.

Ответ: Множество значений: $[2; +\infty)$; функция убывает на $(-\infty; -5]$ и $[-2.5; 0]$, возрастает на $[-5; -2.5]$ и $[0; +\infty)$.

13.20. При каких значениях параметра a имеет нули функция:

1) $y = ax^2 - 9;$

2) $y = ax^2 + 24;$

3) $y = -2ax^2 + 14;$

4) $y = ax^2 - 9x;$

5) $y = -ax^2 - 7;$

6) $y = -3ax^2 + 5.4?_

1) Чтобы найти значения параметра $a$, при которых функция $y = ax^2 - 9$ имеет нули, необходимо решить уравнение $ax^2 - 9 = 0$ относительно $x$. Перенесем 9 в правую часть: $ax^2 = 9$. Рассмотрим два случая:
- Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 = 9$, что является неверным равенством. Следовательно, при $a = 0$ функция нулей не имеет.
- Если $a \neq 0$, то можно выразить $x^2$: $x^2 = \frac{9}{a}$. Уравнение имеет действительные корни, только если его правая часть неотрицательна, то есть $\frac{9}{a} \ge 0$. Так как числитель $9 > 0$, это неравенство выполняется только при $a > 0$.
Ответ: $a > 0$.

2) Нули функции $y = ax^2 + 24$ находятся из уравнения $ax^2 + 24 = 0$. Отсюда $ax^2 = -24$.
- Если $a = 0$, получаем неверное равенство $0 = -24$, значит, нулей нет.
- Если $a \neq 0$, то $x^2 = -\frac{24}{a}$. Для существования действительных корней необходимо, чтобы правая часть была неотрицательна: $-\frac{24}{a} \ge 0$. Умножив на -1 и изменив знак неравенства, получим $\frac{24}{a} \le 0$. Так как числитель $24 > 0$, это неравенство выполняется только при $a < 0$.
Ответ: $a < 0$.

3) Для нахождения нулей функции $y = -2ax^2 + 14$ решаем уравнение $-2ax^2 + 14 = 0$. Отсюда $-2ax^2 = -14$, что равносильно $ax^2 = 7$.
- Если $a = 0$, получаем $0 = 7$, что неверно.
- Если $a \neq 0$, то $x^2 = \frac{7}{a}$. Уравнение имеет действительные корни при условии $\frac{7}{a} \ge 0$. Так как $7 > 0$, это возможно только при $a > 0$.
Ответ: $a > 0$.

4) Нули функции $y = ax^2 - 9x$ находятся из уравнения $ax^2 - 9x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(ax - 9) = 0$. Это уравнение всегда имеет как минимум один корень $x = 0$, независимо от значения параметра $a$.
- Если $a = 0$, функция принимает вид $y = -9x$, и ее единственный нуль — $x=0$.
- Если $a \neq 0$, уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{9}{a}$.
Таким образом, функция имеет нули при любом действительном значении $a$.
Ответ: $a \in \mathbb{R}$.

5) Для функции $y = -ax^2 - 7$ решаем уравнение $-ax^2 - 7 = 0$. Отсюда $-ax^2 = 7$, или $ax^2 = -7$.
- Если $a = 0$, получаем неверное равенство $0 = -7$.
- Если $a \neq 0$, то $x^2 = -\frac{7}{a}$. Для существования действительных корней необходимо, чтобы $-\frac{7}{a} \ge 0$, что эквивалентно $\frac{7}{a} \le 0$. Так как $7 > 0$, это возможно только при $a < 0$.
Ответ: $a < 0$.

6) Для функции $y = -3ax^2 + 5,4$ решаем уравнение $-3ax^2 + 5,4 = 0$. Отсюда $-3ax^2 = -5,4$, или $ax^2 = 1,8$.
- Если $a = 0$, получаем неверное равенство $0 = 1,8$.
- Если $a \neq 0$, то $x^2 = \frac{1,8}{a}$. Условие существования действительных корней — $\frac{1,8}{a} \ge 0$. Так как $1,8 > 0$, необходимо, чтобы $a > 0$.
Ответ: $a > 0$.

Постройте графики функций (13.21–13.23):

13.21. 1) $y = \frac{2x^2}{x} - 3;$

2) $y = \frac{x^2}{3x} + 4;$

3) $y = \frac{2x^2 - 2}{x + 1} + 5;$

4) $y = \frac{-x^2 + 4}{x - 2} - 1.$

1)

Дана функция $y = \frac{2x^2}{x} - 3$.

Сначала найдем область определения функции. Так как в знаменателе находится переменная $x$, то $x$ не может быть равен нулю. Таким образом, область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Далее упростим выражение для функции. При $x \neq 0$ мы можем сократить дробь:

$y = \frac{2x \cdot x}{x} - 3 = 2x - 3$.

Таким образом, мы получили линейную функцию $y = 2x - 3$, график которой — прямая. Однако, из-за ограничения в области определения, точка на этой прямой, соответствующая $x = 0$, должна быть исключена ("выколота").

Найдем координаты этой точки. Если $x = 0$, то $y = 2(0) - 3 = -3$.

Следовательно, точка $(0, -3)$ не принадлежит графику функции.

Для построения прямой найдем две любые другие точки, например:

При $x = 2$, $y = 2(2) - 3 = 1$. Точка $(2, 1)$.

При $x = -1$, $y = 2(-1) - 3 = -5$. Точка $(-1, -5)$.

График функции — это прямая, проходящая через точки $(2, 1)$ и $(-1, -5)$, с выколотой точкой $(0, -3)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=2x-3$ с выколотой точкой $(0, -3)$.

2)

Дана функция $y = \frac{x^2}{3x} + 4$.

Область определения функции определяется условием $3x \neq 0$, то есть $x \neq 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

При $x \neq 0$ упростим выражение:

$y = \frac{x}{3} + 4$ или $y = \frac{1}{3}x + 4$.

Это линейная функция, её график — прямая. Необходимо исключить точку, где $x=0$.

Найдем координаты выколотой точки: при $x = 0$, $y = \frac{1}{3}(0) + 4 = 4$.

Таким образом, точка $(0, 4)$ не принадлежит графику.

Для построения прямой найдем две точки:

При $x = 3$, $y = \frac{1}{3}(3) + 4 = 1 + 4 = 5$. Точка $(3, 5)$.

При $x = -3$, $y = \frac{1}{3}(-3) + 4 = -1 + 4 = 3$. Точка $(-3, 3)$.

График функции — это прямая, проходящая через точки $(3, 5)$ и $(-3, 3)$, с выколотой точкой $(0, 4)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = \frac{1}{3}x + 4$ с выколотой точкой $(0, 4)$.

3)

Дана функция $y = \frac{2x^2 - 2}{x + 1} + 5$.

Знаменатель дроби $x+1$ не должен быть равен нулю, следовательно, $x \neq -1$. Область определения $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Упростим выражение, разложив числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$2x^2 - 2 = 2(x^2 - 1) = 2(x - 1)(x + 1)$.

Теперь сократим дробь при $x \neq -1$:

$y = \frac{2(x - 1)(x + 1)}{x + 1} + 5 = 2(x - 1) + 5 = 2x - 2 + 5 = 2x + 3$.

Функция сводится к линейной $y = 2x + 3$ с ограничением $x \neq -1$.

Найдем координаты выколотой точки: при $x = -1$, $y = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1$.

Точка $(-1, 1)$ не принадлежит графику.

Для построения прямой найдем две точки:

При $x = 0$, $y = 2(0) + 3 = 3$. Точка $(0, 3)$.

При $x = 1$, $y = 2(1) + 3 = 5$. Точка $(1, 5)$.

График функции — это прямая, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(1, 5)$, с выколотой точкой $(-1, 1)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=2x+3$ с выколотой точкой $(-1, 1)$.

4)

Дана функция $y = \frac{-x^2 + 4}{x - 2} - 1$.

Область определения функции: знаменатель $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$. $D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

Упростим выражение. Вынесем минус в числителе и применим формулу разности квадратов:

$-x^2 + 4 = -(x^2 - 4) = -(x - 2)(x + 2)$.

При $x \neq 2$ сократим дробь:

$y = \frac{-(x - 2)(x + 2)}{x - 2} - 1 = -(x + 2) - 1 = -x - 2 - 1 = -x - 3$.

Мы получили линейную функцию $y = -x - 3$ с ограничением $x \neq 2$.

Найдем координаты выколотой точки: при $x = 2$, $y = -(2) - 3 = -5$.

Точка $(2, -5)$ не принадлежит графику.

Для построения прямой найдем две точки:

При $x = 0$, $y = -0 - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$.

При $x = -3$, $y = -(-3) - 3 = 3 - 3 = 0$. Точка $(-3, 0)$.

График функции — это прямая, проходящая через точки $(0, -3)$ и $(-3, 0)$, с выколотой точкой $(2, -5)$.

Ответ: Графиком функции является прямая $y=-x-3$ с выколотой точкой $(2, -5)$.

13.22. 1) $y = 1 - x|x|;$

2) $y = x^2 - \frac{x^2}{|x|};$

3) $y = x^2 - \frac{|x|}{x};$

4) $y = 2x^2 - \frac{x^2}{\sqrt{x^2}};$

5) $y = x^2 - \frac{4x^2}{(\sqrt{x})^2};$

6) $y = 4x - \frac{x^3}{|x|}.$

1) Для того чтобы упростить выражение $y = 1 - x|x|$, необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: если $x \ge 0$, то $|x| = x$.
Функция принимает вид: $y = 1 - x \cdot x = 1 - x^2$.
На этом промежутке график функции является частью параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 1)$.

Случай 2: если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Функция принимает вид: $y = 1 - x \cdot (-x) = 1 + x^2$.
На этом промежутке график функции является частью параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 1)$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной и может быть записана в виде системы:

$y = \begin{cases} 1 - x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ 1 + x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} 1 - x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ 1 + x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

2) Рассмотрим функцию $y = x^2 - \frac{x^2}{|x|}$.

Область определения функции: знаменатель $|x|$ не должен быть равен нулю, следовательно, $x \ne 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Раскроем модуль для двух случаев.

Случай 1: если $x > 0$, то $|x| = x$.
Функция упрощается до: $y = x^2 - \frac{x^2}{x} = x^2 - x$.

Случай 2: если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Функция упрощается до: $y = x^2 - \frac{x^2}{-x} = x^2 + x$.

Функцию можно представить в виде системы:

$y = \begin{cases} x^2 - x, & \text{если } x > 0 \\ x^2 + x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - x, & \text{если } x > 0 \\ x^2 + x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

3) Рассмотрим функцию $y = x^2 - \frac{|x|}{x}$.

Область определения функции: знаменатель $x$ не может быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: если $x > 0$, то $|x| = x$.
Дробь $\frac{|x|}{x}$ становится равной $\frac{x}{x} = 1$.
Функция принимает вид: $y = x^2 - 1$.

Случай 2: если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Дробь $\frac{|x|}{x}$ становится равной $\frac{-x}{x} = -1$.
Функция принимает вид: $y = x^2 - (-1) = x^2 + 1$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной:

$y = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } x > 0 \\ x^2 + 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } x > 0 \\ x^2 + 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

4) Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - \frac{x^2}{\sqrt{x^2}}$.

Сначала упростим выражение в знаменателе. По определению квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$.
Тогда исходная функция эквивалентна $y = 2x^2 - \frac{x^2}{|x|}$.

Область определения: знаменатель $|x|$ не равен нулю, то есть $x \ne 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Раскроем модуль для двух случаев.

Случай 1: если $x > 0$, то $|x| = x$.
Функция принимает вид: $y = 2x^2 - \frac{x^2}{x} = 2x^2 - x$.

Случай 2: если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Функция принимает вид: $y = 2x^2 - \frac{x^2}{-x} = 2x^2 - (-x) = 2x^2 + x$.

В результате получаем кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} 2x^2 - x, & \text{если } x > 0 \\ 2x^2 + x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} 2x^2 - x, & \text{если } x > 0 \\ 2x^2 + x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

5) Рассмотрим функцию $y = x^2 - \frac{4x^2}{(\sqrt{x})^2}$.

Найдем область определения функции. Выражение $\sqrt{x}$ определено только при $x \ge 0$. Знаменатель $(\sqrt{x})^2$ не должен быть равен нулю, что означает $\sqrt{x} \ne 0$, и следовательно $x \ne 0$.
Объединив эти два условия, получаем, что область определения: $x > 0$.

На всей области определения ($x>0$) справедливо равенство $(\sqrt{x})^2 = x$.
Подставим это в исходное уравнение и упростим его:

$y = x^2 - \frac{4x^2}{x} = x^2 - 4x$.

Данное выражение является функцией, определенной для всех $x > 0$.

Ответ: $y = x^2 - 4x$ при $x > 0$.

6) Рассмотрим функцию $y = 4x - \frac{x^3}{|x|}$.

Область определения функции определяется условием неравенства знаменателя нулю: $|x| \ne 0$, что означает $x \ne 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Раскроем модуль для двух случаев.

Случай 1: если $x > 0$, то $|x| = x$.
Функция упрощается до: $y = 4x - \frac{x^3}{x} = 4x - x^2$.

Случай 2: если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Функция упрощается до: $y = 4x - \frac{x^3}{-x} = 4x - (-x^2) = 4x + x^2$.

Таким образом, получаем кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} 4x - x^2, & \text{если } x > 0 \\ x^2 + 4x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} -x^2 + 4x, & \text{если } x > 0 \\ x^2 + 4x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

13.23. 1) $y = x^2 - 2x - (\sqrt{2x-4})^2$;

2) $y = x^2 - 3x - (\sqrt{3x-9})^2$;

3) $y = x^2 - 3x - \sqrt{(3x-9)^2}$;

4) $y = x^2 - 2x - \sqrt{(2x-4)^2}$.

1) $y = x^2 - 2x - (\sqrt{2x-4})^2$

Для того чтобы функция была определена, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$.

ОДЗ: $2x - 4 \ge 0$

$2x \ge 4$

$x \ge 2$

На этой области определения ($x \ge 2$) используем тождество $(\sqrt{a})^2 = a$.

$(\sqrt{2x-4})^2 = 2x-4$

Подставим это выражение в исходную функцию:

$y = x^2 - 2x - (2x-4) = x^2 - 2x - 2x + 4 = x^2 - 4x + 4$

Полученное выражение является полным квадратом:

$y = (x-2)^2$

Таким образом, функция имеет вид $y = (x-2)^2$ при $x \ge 2$.

Ответ: $y=(x-2)^2$ при $x \in [2; +\infty)$.

2) $y = x^2 - 3x - (\sqrt{3x-9})^2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

ОДЗ: $3x - 9 \ge 0$

$3x \ge 9$

$x \ge 3$

На ОДЗ ($x \ge 3$) справедливо тождество $(\sqrt{a})^2 = a$.

$(\sqrt{3x-9})^2 = 3x-9$

Подставляем упрощенное выражение в уравнение функции:

$y = x^2 - 3x - (3x-9) = x^2 - 3x - 3x + 9 = x^2 - 6x + 9$

Свернем полученное выражение в полный квадрат:

$y = (x-3)^2$

Итак, функция задается формулой $y = (x-3)^2$ при $x \ge 3$.

Ответ: $y=(x-3)^2$ при $x \in [3; +\infty)$.

3) $y = x^2 - 3x - \sqrt{(3x-9)^2}$

Подкоренное выражение $(3x-9)^2$ всегда неотрицательно, так как является квадратом. Следовательно, область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(3x-9)^2} = |3x-9|$

Функция принимает вид:

$y = x^2 - 3x - |3x-9|$

Теперь раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно.

$3x - 9 \ge 0 \implies 3x \ge 9 \implies x \ge 3$

В этом случае $|3x-9| = 3x-9$.

$y = x^2 - 3x - (3x-9) = x^2 - 3x - 3x + 9 = x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$

Случай 2: Выражение под модулем отрицательно.

$3x - 9 < 0 \implies 3x < 9 \implies x < 3$

В этом случае $|3x-9| = -(3x-9) = 9-3x$.

$y = x^2 - 3x - (9-3x) = x^2 - 3x - 9 + 3x = x^2 - 9$

Объединяя оба случая, получаем кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} (x-3)^2, & \text{если } x \ge 3 \\ x^2 - 9, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} (x-3)^2, & \text{при } x \ge 3 \\ x^2 - 9, & \text{при } x < 3 \end{cases}$.

4) $y = x^2 - 2x - \sqrt{(2x-4)^2}$

Подкоренное выражение $(2x-4)^2$ является квадратом, поэтому оно всегда неотрицательно. Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Применим тождество $\sqrt{a^2} = |a|$.

$\sqrt{(2x-4)^2} = |2x-4|$

Таким образом, функция записывается как:

$y = x^2 - 2x - |2x-4|$

Для раскрытия модуля рассмотрим два случая.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно.

$2x - 4 \ge 0 \implies 2x \ge 4 \implies x \ge 2$

При этом условии $|2x-4| = 2x-4$.

$y = x^2 - 2x - (2x-4) = x^2 - 2x - 2x + 4 = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно.

$2x - 4 < 0 \implies 2x < 4 \implies x < 2$

При этом условии $|2x-4| = -(2x-4) = 4-2x$.

$y = x^2 - 2x - (4-2x) = x^2 - 2x - 4 + 2x = x^2 - 4$

Объединяя результаты, получаем кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} (x-2)^2, & \text{если } x \ge 2 \\ x^2 - 4, & \text{если } x < 2 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} (x-2)^2, & \text{при } x \ge 2 \\ x^2 - 4, & \text{при } x < 2 \end{cases}$.

13.24. Найдите c и постройте график функции $y = (x - 2)^2 - c$, если известно, что наименьшее значение функции равно:

1) -1;

2) 0;

3) 7,4;

4) -2,6;

5) 1,3;

6) $\pi$.

Дана функция $y = (x - 2)^2 - c$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при старшем члене (после раскрытия скобок) равен 1 (положительное число). Следовательно, функция имеет наименьшее значение в вершине параболы.

Выражение $(x - 2)^2$ всегда неотрицательно, то есть $(x - 2)^2 \ge 0$. Наименьшее значение этого выражения равно 0 и достигается при $x - 2 = 0$, то есть при $x = 2$.

Таким образом, наименьшее значение функции $y$ равно $y_{min} = 0 - c = -c$. Координаты вершины параболы: $(2, -c)$.

Зная наименьшее значение функции $y_{min}$, мы можем найти параметр $c$ по формуле $c = -y_{min}$.

Для построения графика мы будем использовать тот факт, что график функции $y = (x - 2)^2 - c$ получается из графика базовой параболы $y = x^2$ путем сдвига на 2 единицы вправо по оси Ох и на $-c$ (или $y_{min}$) единиц по оси Оy.

1) Наименьшее значение функции равно -1.

Найдем $c$: $y_{min} = -1$. Так как $y_{min} = -c$, то $-c = -1$, откуда $c = 1$.

Функция имеет вид: $y = (x - 2)^2 - 1$.

График этой функции — парабола, полученная из графика $y=x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз. Вершина параболы находится в точке $(2, -1)$.

Ответ: $c=1$.

2) Наименьшее значение функции равно 0.

Найдем $c$: $y_{min} = 0$. Так как $y_{min} = -c$, то $-c = 0$, откуда $c = 0$.

Функция имеет вид: $y = (x - 2)^2$.

График этой функции — парабола, полученная из графика $y=x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо. Вершина параболы находится в точке $(2, 0)$.

Ответ: $c=0$.

3) Наименьшее значение функции равно 7,4.

Найдем $c$: $y_{min} = 7.4$. Так как $y_{min} = -c$, то $-c = 7.4$, откуда $c = -7.4$.

Функция имеет вид: $y = (x - 2)^2 + 7.4$.

График этой функции — парабола, полученная из графика $y=x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо и на 7,4 единицы вверх. Вершина параболы находится в точке $(2, 7.4)$.

Ответ: $c=-7.4$.

4) Наименьшее значение функции равно -2,6.

Найдем $c$: $y_{min} = -2.6$. Так как $y_{min} = -c$, то $-c = -2.6$, откуда $c = 2.6$.

Функция имеет вид: $y = (x - 2)^2 - 2.6$.

График этой функции — парабола, полученная из графика $y=x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо и на 2,6 единицы вниз. Вершина параболы находится в точке $(2, -2.6)$.

Ответ: $c=2.6$.

5) Наименьшее значение функции равно 1,3.

Найдем $c$: $y_{min} = 1.3$. Так как $y_{min} = -c$, то $-c = 1.3$, откуда $c = -1.3$.

Функция имеет вид: $y = (x - 2)^2 + 1.3$.

График этой функции — парабола, полученная из графика $y=x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо и на 1,3 единицы вверх. Вершина параболы находится в точке $(2, 1.3)$.

Ответ: $c=-1.3$.

6) Наименьшее значение функции равно $\pi$.

Найдем $c$: $y_{min} = \pi$. Так как $y_{min} = -c$, то $-c = \pi$, откуда $c = -\pi$.

Функция имеет вид: $y = (x - 2)^2 + \pi$. (Приближенно $y = (x-2)^2 + 3.14$).

График этой функции — парабола, полученная из графика $y=x^2$ сдвигом на 2 единицы вправо и на $\pi$ единиц вверх. Вершина параболы находится в точке $(2, \pi)$.

Ответ: $c=-\pi$.

13.25. Постройте график функции $y = \frac{3}{x}$ и найдите точки ее пересечения с параболой:

1) $y = -2x^2 + 3$;

2) $y = -x^2 + 4x$;

3) $y = -2x^2 - 4x$;

4) $y = x^2 + 1,4$.

Для нахождения точек пересечения графиков двух функций, $y = f(x)$ и $y = g(x)$, необходимо решить систему уравнений:

$\begin{cases} y = f(x) \\ y = g(x)\end{cases}$

Это эквивалентно решению уравнения $f(x) = g(x)$.

В данной задаче мы ищем точки пересечения гиперболы $y = \frac{3}{x}$ с различными параболами. График функции $y = \frac{3}{x}$ — это гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях. Оси координат являются ее асимптотами.

1)

Найдем точки пересечения гиперболы $y = \frac{3}{x}$ и параболы $y = -2x^2 + 3$.

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{3}{x} = -2x^2 + 3$

Так как $x \neq 0$, умножим обе части на $x$:

$3 = -2x^3 + 3x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить кубическое уравнение:

$2x^3 - 3x + 3 = 0$

Это уравнение не имеет простых рациональных корней. Решим его графически и найдем приближенное значение.Парабола $y = -2x^2 + 3$ имеет ветви, направленные вниз, с вершиной в точке $(0, 3)$.Из графика видно, что существует одна точка пересечения в III четверти.

Анализ уравнения показывает, что есть только один действительный корень $x \approx -1.57$.

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = \frac{3}{-1.57} \approx -1.91$

Проверим по уравнению параболы: $y = -2(-1.57)^2 + 3 = -2(2.4649) + 3 = -4.9298 + 3 = -1.9298 \approx -1.93$.

Приближенные координаты точки пересечения: $(-1.57, -1.93)$.

Ответ: $(-1.57, -1.93)$.

2)

Найдем точки пересечения гиперболы $y = \frac{3}{x}$ и параболы $y = -x^2 + 4x$.

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{3}{x} = -x^2 + 4x$

$3 = -x^3 + 4x^2$

$x^3 - 4x^2 + 3 = 0$

Пробуем найти целочисленные корни среди делителей свободного члена (3): $\pm 1, \pm 3$.

При $x=1$: $1^3 - 4(1)^2 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$. Значит, $x=1$ является корнем.

Разделим многочлен $x^3 - 4x^2 + 3$ на $(x-1)$:

$(x^3 - 4x^2 + 3) \div (x-1) = x^2 - 3x - 3$.

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - 3x - 3 = 0$:

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9+12}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Мы получили три корня для $x$:

$x_1 = 1$

$x_2 = \frac{3 + \sqrt{21}}{2}$

$x_3 = \frac{3 - \sqrt{21}}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

$y_1 = \frac{3}{1} = 3$. Точка $(1, 3)$.

$y_2 = \frac{3}{(3+\sqrt{21})/2} = \frac{6}{3+\sqrt{21}} = \frac{6(3-\sqrt{21})}{9-21} = \frac{6(3-\sqrt{21})}{-12} = \frac{\sqrt{21}-3}{2}$. Точка $(\frac{3+\sqrt{21}}{2}, \frac{\sqrt{21}-3}{2})$.

$y_3 = \frac{3}{(3-\sqrt{21})/2} = \frac{6}{3-\sqrt{21}} = \frac{6(3+\sqrt{21})}{9-21} = \frac{6(3+\sqrt{21})}{-12} = -\frac{3+\sqrt{21}}{2}$. Точка $(\frac{3-\sqrt{21}}{2}, -\frac{3+\sqrt{21}}{2})$.

Ответ: $(1, 3)$, $(\frac{3+\sqrt{21}}{2}, \frac{\sqrt{21}-3}{2})$, $(\frac{3-\sqrt{21}}{2}, -\frac{3+\sqrt{21}}{2})$.

3)

Найдем точки пересечения гиперболы $y = \frac{3}{x}$ и параболы $y = -2x^2 - 4x$.

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{3}{x} = -2x^2 - 4x$

$3 = -2x^3 - 4x^2$

$2x^3 + 4x^2 + 3 = 0$

Это уравнение также не имеет простых рациональных корней. Парабола $y = -2x^2 - 4x$ имеет ветви вниз, вершина в точке $(-1, 2)$. Графический метод показывает одну точку пересечения.

Аналитическое исследование показывает, что есть один действительный корень $x \approx -2.28$.

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = \frac{3}{-2.28} \approx -1.316$

Проверим по уравнению параболы: $y = -2(-2.28)^2 - 4(-2.28) = -2(5.1984) + 9.12 = -10.3968 + 9.12 = -1.2768 \approx -1.28$.

Приближенные координаты точки пересечения: $(-2.28, -1.32)$.

Ответ: $(-2.28, -1.32)$.

4)

Найдем точки пересечения гиперболы $y = \frac{3}{x}$ и параболы $y = x^2 + 1.4$.

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{3}{x} = x^2 + 1.4$

$3 = x^3 + 1.4x$

$x^3 + 1.4x - 3 = 0$

Умножим на 5, чтобы избавиться от десятичной дроби и упростить:

$5x^3 + 7x - 15 = 0$

Это уравнение также не имеет простых рациональных корней. Парабола $y = x^2 + 1.4$ имеет ветви вверх, вершина в точке $(0, 1.4)$. Графический метод показывает одну точку пересечения в I четверти.

Производная функции $f(x) = 5x^3 + 7x - 15$ равна $f'(x) = 15x^2 + 7$, что всегда положительно. Следовательно, функция возрастает и имеет только один действительный корень. Приближенное значение корня: $x \approx 1.13$.

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = \frac{3}{1.13} \approx 2.65$

Проверим по уравнению параболы: $y = (1.13)^2 + 1.4 = 1.2769 + 1.4 = 2.6769 \approx 2.68$.

Приближенные координаты точки пересечения: $(1.13, 2.67)$.

Ответ: $(1.13, 2.67)$.