Номер 13.20, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.20. При каких значениях параметра a имеет нули функция:

1) $y = ax^2 - 9;$

2) $y = ax^2 + 24;$

3) $y = -2ax^2 + 14;$

4) $y = ax^2 - 9x;$

5) $y = -ax^2 - 7;$

6) $y = -3ax^2 + 5.4?_

1) Чтобы найти значения параметра $a$, при которых функция $y = ax^2 - 9$ имеет нули, необходимо решить уравнение $ax^2 - 9 = 0$ относительно $x$. Перенесем 9 в правую часть: $ax^2 = 9$. Рассмотрим два случая:
- Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 = 9$, что является неверным равенством. Следовательно, при $a = 0$ функция нулей не имеет.
- Если $a \neq 0$, то можно выразить $x^2$: $x^2 = \frac{9}{a}$. Уравнение имеет действительные корни, только если его правая часть неотрицательна, то есть $\frac{9}{a} \ge 0$. Так как числитель $9 > 0$, это неравенство выполняется только при $a > 0$.
Ответ: $a > 0$.

2) Нули функции $y = ax^2 + 24$ находятся из уравнения $ax^2 + 24 = 0$. Отсюда $ax^2 = -24$.
- Если $a = 0$, получаем неверное равенство $0 = -24$, значит, нулей нет.
- Если $a \neq 0$, то $x^2 = -\frac{24}{a}$. Для существования действительных корней необходимо, чтобы правая часть была неотрицательна: $-\frac{24}{a} \ge 0$. Умножив на -1 и изменив знак неравенства, получим $\frac{24}{a} \le 0$. Так как числитель $24 > 0$, это неравенство выполняется только при $a < 0$.
Ответ: $a < 0$.

3) Для нахождения нулей функции $y = -2ax^2 + 14$ решаем уравнение $-2ax^2 + 14 = 0$. Отсюда $-2ax^2 = -14$, что равносильно $ax^2 = 7$.
- Если $a = 0$, получаем $0 = 7$, что неверно.
- Если $a \neq 0$, то $x^2 = \frac{7}{a}$. Уравнение имеет действительные корни при условии $\frac{7}{a} \ge 0$. Так как $7 > 0$, это возможно только при $a > 0$.
Ответ: $a > 0$.

4) Нули функции $y = ax^2 - 9x$ находятся из уравнения $ax^2 - 9x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(ax - 9) = 0$. Это уравнение всегда имеет как минимум один корень $x = 0$, независимо от значения параметра $a$.
- Если $a = 0$, функция принимает вид $y = -9x$, и ее единственный нуль — $x=0$.
- Если $a \neq 0$, уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{9}{a}$.
Таким образом, функция имеет нули при любом действительном значении $a$.
Ответ: $a \in \mathbb{R}$.

5) Для функции $y = -ax^2 - 7$ решаем уравнение $-ax^2 - 7 = 0$. Отсюда $-ax^2 = 7$, или $ax^2 = -7$.
- Если $a = 0$, получаем неверное равенство $0 = -7$.
- Если $a \neq 0$, то $x^2 = -\frac{7}{a}$. Для существования действительных корней необходимо, чтобы $-\frac{7}{a} \ge 0$, что эквивалентно $\frac{7}{a} \le 0$. Так как $7 > 0$, это возможно только при $a < 0$.
Ответ: $a < 0$.

6) Для функции $y = -3ax^2 + 5,4$ решаем уравнение $-3ax^2 + 5,4 = 0$. Отсюда $-3ax^2 = -5,4$, или $ax^2 = 1,8$.
- Если $a = 0$, получаем неверное равенство $0 = 1,8$.
- Если $a \neq 0$, то $x^2 = \frac{1,8}{a}$. Условие существования действительных корней — $\frac{1,8}{a} \ge 0$. Так как $1,8 > 0$, необходимо, чтобы $a > 0$.
Ответ: $a > 0$.