Номер 13.15, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.15. Постройте график функции $y$. Найдите вершину и ось симметрии параболы и опишите свойства функции:

1) $y = 3x^2 - 2,4;$

2) $y = -x^2 + 4,6;$

3) $y = 2(x - 3,6)^2;$

4) $y = (x - 2,6)^2;$

5) $y = (x + 0,2)^2;$

6) $y = -(x + 3)^2 - 2;$

7) $y = (x + 2)^2 - 6;$

8) $y = -(x - 2)^2 + 7.$

1) $y = 3x^2 - 2,4$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Уравнение представлено в виде $y = ax^2 + n$, что является частным случаем канонической формы $y = a(x-m)^2 + n$.

Нахождение вершины и оси симметрии:
В данном уравнении коэффициенты: $a = 3$, $m = 0$, $n = -2,4$.
Поскольку коэффициент $a=3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины параболы: $(m, n) = (0; -2,4)$.
Уравнение оси симметрии: $x = m \implies x = 0$ (ось Oy).

Построение графика:
График функции $y = 3x^2 - 2,4$ получается из графика $y = 3x^2$ сдвигом вниз по оси Oy на 2,4 единицы. Составим таблицу значений для построения:

Таблица точек:
x | -1,5 | -1 | 0 | 1 | 1,5
--|------|----|---------|---|-----
y | 4,35 | 0,6| -2,4 |0,6| 4,35

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = [-2,4; +\infty)$.
3. Нули функции: $3x^2 - 2,4 = 0 \implies x^2 = 0,8 \implies x = \pm\sqrt{0,8} = \pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -\sqrt{0,8}) \cup (\sqrt{0,8}; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\sqrt{0,8}; \sqrt{0,8})$.
5. Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$.
6. Экстремумы: $y_{min} = -2,4$ при $x = 0$.
7. Функция является четной, так как $y(-x) = 3(-x)^2 - 2,4 = 3x^2 - 2,4 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

Ответ: Вершина: $(0; -2,4)$, ось симметрии: $x = 0$. Свойства и график представлены выше.

2) $y = -x^2 + 4,6$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Уравнение представлено в виде $y = ax^2 + n$.

Нахождение вершины и оси симметрии:
В данном уравнении коэффициенты: $a = -1$, $m = 0$, $n = 4,6$.
Поскольку коэффициент $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Координаты вершины параболы: $(m, n) = (0; 4,6)$.
Уравнение оси симметрии: $x = m \implies x = 0$ (ось Oy).

Построение графика:
График функции $y = -x^2 + 4,6$ получается из графика $y = -x^2$ сдвигом вверх по оси Oy на 4,6 единицы. Составим таблицу значений:

Таблица точек:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2
--|----|----|-----|---|----
y | 0,6| 3,6| 4,6 |3,6| 0,6

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 4,6]$.
3. Нули функции: $-x^2 + 4,6 = 0 \implies x^2 = 4,6 \implies x = \pm\sqrt{4,6}$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\sqrt{4,6}; \sqrt{4,6})$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -\sqrt{4,6}) \cup (\sqrt{4,6}; +\infty)$.
5. Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$.
6. Экстремумы: $y_{max} = 4,6$ при $x = 0$.
7. Функция является четной, так как $y(-x) = -(-x)^2 + 4,6 = -x^2 + 4,6 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.

Ответ: Вершина: $(0; 4,6)$, ось симметрии: $x = 0$. Свойства и график представлены выше.

3) $y = 2(x - 3,6)^2$

Это квадратичная функция, график — парабола. Уравнение вида $y = a(x-m)^2 + n$.

Нахождение вершины и оси симметрии:
Коэффициенты: $a = 2$, $m = 3,6$, $n = 0$.
Так как $a=2 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины параболы: $(m, n) = (3,6; 0)$.
Уравнение оси симметрии: $x = m \implies x = 3,6$.

Построение графика:
График функции $y = 2(x - 3,6)^2$ получается из графика $y = 2x^2$ сдвигом вправо по оси Ox на 3,6 единицы.

Таблица точек:
x | 1,6 | 2,6 | 3,6 | 4,6 | 5,6
--|-----|-----|-----|-----|-----
y | 8 | 2 | 0 | 2 | 8

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Нули функции: $2(x - 3,6)^2 = 0 \implies x = 3,6$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 3,6) \cup (3,6; +\infty)$. $y=0$ при $x=3.6$.
5. Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 3,6]$ и возрастает на $[3,6; +\infty)$.
6. Экстремумы: $y_{min} = 0$ при $x = 3,6$.
7. Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида).

Ответ: Вершина: $(3,6; 0)$, ось симметрии: $x = 3,6$. Свойства и график представлены выше.

4) $y = (x - 2,6)^2$

Это квадратичная функция, график — парабола. Уравнение вида $y = a(x-m)^2 + n$.

Нахождение вершины и оси симметрии:
Коэффициенты: $a = 1$, $m = 2,6$, $n = 0$.
Так как $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины параболы: $(m, n) = (2,6; 0)$.
Уравнение оси симметрии: $x = m \implies x = 2,6$.

Построение графика:
График функции $y = (x - 2,6)^2$ получается из графика $y = x^2$ сдвигом вправо по оси Ox на 2,6 единицы.

Таблица точек:
x | 0,6 | 1,6 | 2,6 | 3,6 | 4,6
--|-----|-----|-----|-----|-----
y | 4 | 1 | 0 | 1 | 4

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Нули функции: $(x - 2,6)^2 = 0 \implies x = 2,6$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 2,6) \cup (2,6; +\infty)$. $y=0$ при $x=2.6$.
5. Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; 2,6]$ и возрастает на $[2,6; +\infty)$.
6. Экстремумы: $y_{min} = 0$ при $x = 2,6$.
7. Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида).

Ответ: Вершина: $(2,6; 0)$, ось симметрии: $x = 2,6$. Свойства и график представлены выше.

5) $y = (x + 0,2)^2$

Это квадратичная функция, график — парабола. Уравнение $y = (x - (-0,2))^2$ имеет вид $y = a(x-m)^2 + n$.

Нахождение вершины и оси симметрии:
Коэффициенты: $a = 1$, $m = -0,2$, $n = 0$.
Так как $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины параболы: $(m, n) = (-0,2; 0)$.
Уравнение оси симметрии: $x = m \implies x = -0,2$.

Построение графика:
График функции $y = (x + 0,2)^2$ получается из графика $y = x^2$ сдвигом влево по оси Ox на 0,2 единицы.

Таблица точек:
x | -2,2 | -1,2 | -0,2 | 0,8 | 1,8
--|------|------|------|-----|-----
y | 4 | 1 | 0 | 1 | 4

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
3. Нули функции: $(x + 0,2)^2 = 0 \implies x = -0,2$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -0,2) \cup (-0,2; +\infty)$. $y=0$ при $x=-0.2$.
5. Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; -0,2]$ и возрастает на $[-0,2; +\infty)$.
6. Экстремумы: $y_{min} = 0$ при $x = -0,2$.
7. Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида).

Ответ: Вершина: $(-0,2; 0)$, ось симметрии: $x = -0,2$. Свойства и график представлены выше.

6) $y = -(x + 3)^2 - 2$

Это квадратичная функция, график — парабола. Уравнение $y = -(x - (-3))^2 - 2$ имеет вид $y = a(x-m)^2 + n$.

Нахождение вершины и оси симметрии:
Коэффициенты: $a = -1$, $m = -3$, $n = -2$.
Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Координаты вершины параболы: $(m, n) = (-3; -2)$.
Уравнение оси симметрии: $x = m \implies x = -3$.

Построение графика:
График получается из $y = -x^2$ сдвигом влево на 3 единицы и вниз на 2 единицы.

Таблица точек:
x | -5 | -4 | -3 | -2 | -1
--|----|----|----|----|----
y | -6 | -3 | -2 | -3 | -6

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; -2]$.
3. Нули функции: $-(x + 3)^2 - 2 = 0 \implies (x+3)^2 = -2$. Действительных корней нет, график не пересекает ось Ox.
4. Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при всех $x \in (-\infty; +\infty)$.
5. Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; -3]$ и убывает на $[-3; +\infty)$.
6. Экстремумы: $y_{max} = -2$ при $x = -3$.
7. Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида).

Ответ: Вершина: $(-3; -2)$, ось симметрии: $x = -3$. Свойства и график представлены выше.

7) $y = (x + 2)^2 - 6$

Это квадратичная функция, график — парабола. Уравнение $y = (x - (-2))^2 - 6$ имеет вид $y = a(x-m)^2 + n$.

Нахождение вершины и оси симметрии:
Коэффициенты: $a = 1$, $m = -2$, $n = -6$.
Так как $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Координаты вершины параболы: $(m, n) = (-2; -6)$.
Уравнение оси симметрии: $x = m \implies x = -2$.

Построение графика:
График получается из $y = x^2$ сдвигом влево на 2 единицы и вниз на 6 единиц.

Таблица точек:
x | -4 | -3 | -2 | -1 | 0
--|----|----|----|----|----
y | -2 | -5 | -6 | -5 | -2

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = [-6; +\infty)$.
3. Нули функции: $(x+2)^2 - 6 = 0 \implies (x+2)^2 = 6 \implies x = -2 \pm \sqrt{6}$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2-\sqrt{6}) \cup (-2+\sqrt{6}; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-2-\sqrt{6}; -2+\sqrt{6})$.
5. Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty; -2]$ и возрастает на $[-2; +\infty)$.
6. Экстремумы: $y_{min} = -6$ при $x = -2$.
7. Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида).

Ответ: Вершина: $(-2; -6)$, ось симметрии: $x = -2$. Свойства и график представлены выше.

8) $y = -(x - 2)^2 + 7$

Это квадратичная функция, график — парабола. Уравнение имеет вид $y = a(x-m)^2 + n$.

Нахождение вершины и оси симметрии:
Коэффициенты: $a = -1$, $m = 2$, $n = 7$.
Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Координаты вершины параболы: $(m, n) = (2; 7)$.
Уравнение оси симметрии: $x = m \implies x = 2$.

Построение графика:
График получается из $y = -x^2$ сдвигом вправо на 2 единицы и вверх на 7 единиц.

Таблица точек:
x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4
--|---|---|---|---|---
y | 3 | 6 | 7 | 6 | 3

Свойства функции:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 7]$.
3. Нули функции: $-(x-2)^2 + 7 = 0 \implies (x-2)^2 = 7 \implies x = 2 \pm \sqrt{7}$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (2-\sqrt{7}; 2+\sqrt{7})$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 2-\sqrt{7}) \cup (2+\sqrt{7}; +\infty)$.
5. Промежутки монотонности: функция возрастает на $(-\infty; 2]$ и убывает на $[2; +\infty)$.
6. Экстремумы: $y_{max} = 7$ при $x = 2$.
7. Функция не является ни четной, ни нечетной (общего вида).

Ответ: Вершина: $(2; 7)$, ось симметрии: $x = 2$. Свойства и график представлены выше.