Номер 13.14, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.14. Найдите нули функции (если они существуют):

1) $y = x^2 - 2,25;$ 2) $y = -x^2 + 16;$

3) $y = -(x - 3)^2 - 2;$ 4) $y = (x - 2)^2 - 25;$

5) $y = -3(x + 2)^2 - 15;$ 6) $y = \frac{1}{5}(x - 6,8)^2 - 9\frac{1}{15}.$

1) Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули функции $y = x^2 - 2,25$, решим уравнение:
$x^2 - 2,25 = 0$
$x^2 = 2,25$
$x = \pm\sqrt{2,25}$
$x_1 = 1,5$, $x_2 = -1,5$
Ответ: $-1,5; 1,5$.

2) Чтобы найти нули функции $y = -x^2 + 16$, решим уравнение:
$-x^2 + 16 = 0$
$x^2 = 16$
$x = \pm\sqrt{16}$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$
Ответ: $-4; 4$.

3) Чтобы найти нули функции $y = -(x - 3)^2 - 2$, решим уравнение:
$-(x - 3)^2 - 2 = 0$
$-(x - 3)^2 = 2$
$(x - 3)^2 = -2$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, у функции нет нулей.
Ответ: нулей нет.

4) Чтобы найти нули функции $y = (x - 2)^2 - 25$, решим уравнение:
$(x - 2)^2 - 25 = 0$
$(x - 2)^2 = 25$
$x - 2 = \pm\sqrt{25}$
$x - 2 = \pm 5$
Отсюда получаем два корня:
$x_1 = 5 + 2 = 7$
$x_2 = -5 + 2 = -3$
Ответ: $-3; 7$.

5) Чтобы найти нули функции $y = -3(x + 2)^2 - 15$, решим уравнение:
$-3(x + 2)^2 - 15 = 0$
$-3(x + 2)^2 = 15$
$(x + 2)^2 = -5$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, у функции нет нулей.
Ответ: нулей нет.

6) Чтобы найти нули функции $y = \frac{1}{5}(x - 6,8)^2 - 9\frac{1}{15}$, решим уравнение:
$\frac{1}{5}(x - 6,8)^2 - 9\frac{1}{15} = 0$
Представим смешанное число в виде неправильной дроби: $9\frac{1}{15} = \frac{9 \cdot 15 + 1}{15} = \frac{136}{15}$.
$\frac{1}{5}(x - 6,8)^2 = \frac{136}{15}$
Умножим обе части уравнения на 5:
$(x - 6,8)^2 = \frac{136}{15} \cdot 5$
$(x - 6,8)^2 = \frac{136}{3}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x - 6,8 = \pm\sqrt{\frac{136}{3}}$
$x = 6,8 \pm \sqrt{\frac{136}{3}}$
Представим $6,8$ как дробь $\frac{34}{5}$ и упростим корень:
$x = \frac{34}{5} \pm \sqrt{\frac{4 \cdot 34}{3}} = \frac{34}{5} \pm 2\sqrt{\frac{34}{3}} = \frac{34}{5} \pm \frac{2\sqrt{34}}{\sqrt{3}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$x = \frac{34}{5} \pm \frac{2\sqrt{34}\sqrt{3}}{3} = \frac{34}{5} \pm \frac{2\sqrt{102}}{3}$
Ответ: $\frac{34}{5} - \frac{2\sqrt{102}}{3}; \frac{34}{5} + \frac{2\sqrt{102}}{3}$.