Номер 13.7, страница 111 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.7. Постройте график функции $y = - 2x^2 + 3$. По графику найдите:

1) значение y при x = -3,5; -2,5; 5,1;

2) значение x при y = -5; -0,2; 4,5;

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Для построения графика функции $y = -2x^2 + 3$ определим её ключевые свойства.

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-2$ (отрицательный), следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0$

$y_0 = -2(0)^2 + 3 = 3$

Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=0$ (ось Oy).

Составим таблицу значений для нескольких точек, симметричных относительно оси симметрии:

Построим график функции, используя эти точки.

1) значение y при x = -3,5; -2,5; 5,1;

Чтобы найти значение $y$ по графику для заданного значения $x$, нужно найти на оси абсцисс (Ox) точку с этой координатой, провести вертикальную линию до пересечения с параболой, а затем от точки пересечения провести горизонтальную линию до оси ординат (Oy). Координата точки на оси Oy и будет искомым значением функции. Для большей точности выполним также и вычисления.

• При $x = -3,5$: на графике видно, что значение $y$ будет очень низким. Вычислим его: $y = -2(-3,5)^2 + 3 = -2(12,25) + 3 = -24,5 + 3 = -21,5$.
• При $x = -2,5$: по графику находим $y \approx -9,5$. Точный расчет: $y = -2(-2,5)^2 + 3 = -2(6,25) + 3 = -12,5 + 3 = -9,5$.
• При $x = 5,1$: это значение $x$ выходит за пределы построенного графика. Вычислим значение $y$: $y = -2(5,1)^2 + 3 = -2(26,01) + 3 = -52,02 + 3 = -49,02$.

Ответ: при $x = -3,5, y = -21,5$; при $x = -2,5, y = -9,5$; при $x = 5,1, y = -49,02$.

2) значение x при y = -5; -0,2; 4,5;

Чтобы найти значение $x$, при котором $y$ принимает заданное значение, нужно найти это значение на оси ординат (Oy), провести горизонтальную линию и найти абсциссы точек её пересечения с параболой.

• При $y = -5$: проводим горизонтальную линию $y=-5$. Из графика видно, что она пересекает параболу в двух точках. Абсциссы этих точек: $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$.
• При $y = -0,2$: проводим горизонтальную линию $y=-0,2$. Она пересекает параболу в двух точках, близких к $x \approx 1,3$ и $x \approx -1,3$. Найдем точное значение:
  $-0,2 = -2x^2 + 3$
  $2x^2 = 3 + 0,2$
  $2x^2 = 3,2$
  $x^2 = 1,6$
  $x = \pm\sqrt{1,6} \approx \pm1,26$.
• При $y = 4,5$: проводим горизонтальную линию $y = 4,5$. Эта линия находится выше вершины параболы $(0, 3)$ и, следовательно, не пересекает график. Это означает, что не существует действительных значений $x$, при которых функция принимает значение $4,5$.

Ответ: при $y = -5, x = \pm2$; при $y = -0,2, x = \pm\sqrt{1,6} \approx \pm1,26$; при $y = 4,5$ решений нет.

3) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Функция возрастает на том промежутке, где её график при движении слева направо "поднимается вверх". Функция убывает, где её график "опускается вниз".

Вершина параболы $y = -2x^2 + 3$ находится в точке $(0, 3)$. Это точка максимума.

• Слева от вершины, то есть при $x \in (-\infty, 0)$, график поднимается вверх. Следовательно, функция возрастает.
• Справа от вершины, то есть при $x \in (0, +\infty)$, график опускается вниз. Следовательно, функция убывает.

Включая точку $x=0$ в оба промежутка, получаем:

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.