Номер 13.13, страница 112 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.13. Постройте параболу, найдите ее ось симметрии и вершину, укажите множество значений функции:

1) $y = (x - 2,6)^2$;

2) $y = (x + 0,2)^2$;

3) $y = -(x - 3,1)^2$;

4) $y = x^2 - 2,4$;

5) $y = -x^2 + 4$;

6) $y = -(x + 3)^2 - 2$;

7) $y = (x - 2)^2 - 2$;

8) $y = -3(x + 2)^2 + 5$;

9) $y = \frac{1}{5}(x - 2,8)^2 - 8\frac{1}{3}$.

1)

Для функции $y = (x - 2,6)^2$. Это уравнение параболы в вершинной форме $y = a(x-h)^2 + k$.

Здесь коэффициент $a=1$, абсцисса вершины $h=2,6$, ордината вершины $k=0$.

Вершина параболы находится в точке с координатами $(h; k)$, то есть $(2,6; 0)$.

Ось симметрии — это вертикальная прямая, проходящая через вершину, её уравнение $x = h$, то есть $x = 2,6$.

Множество значений функции: Поскольку коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, функция имеет наименьшее значение в вершине, равное $k=0$. Множество значений функции $E(y) = [0; +\infty)$.

Построение графика: Отметим вершину $(2,6; 0)$ и проведем ось симметрии $x = 2,6$. Найдем несколько дополнительных точек: при $x=3,6$, $y=(3,6-2,6)^2=1$; при $x=1,6$, $y=(1,6-2,6)^2=1$. Соединим точки плавной кривой.

Ответ: Ось симметрии: $x = 2,6$; вершина: $(2,6; 0)$; множество значений: $[0; +\infty)$. График представлен выше.

2)

Для функции $y = (x + 0,2)^2$. Уравнение можно переписать в виде $y = (x - (-0,2))^2 + 0$.

Здесь $a=1$, $h=-0,2$, $k=0$.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(-0,2; 0)$.

Ось симметрии — прямая $x = h$, то есть $x = -0,2$.

Множество значений функции: Так как $a=1 > 0$, ветви направлены вверх. Наименьшее значение функции равно $k=0$. Множество значений $E(y) = [0; +\infty)$.

Построение графика: Отмечаем вершину $(-0,2; 0)$ и ось симметрии $x=-0,2$. Найдем точки: при $x=0,8$, $y=(0,8+0,2)^2=1$; при $x=-1,2$, $y=(-1,2+0,2)^2=1$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Ось симметрии: $x = -0,2$; вершина: $(-0,2; 0)$; множество значений: $[0; +\infty)$. График представлен выше.

3)

Для функции $y = -(x - 3,1)^2$. Это уравнение параболы вида $y = a(x-h)^2 + k$.

Здесь $a=-1$, $h=3,1$, $k=0$.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(3,1; 0)$.

Ось симметрии — прямая $x = h$, то есть $x = 3,1$.

Множество значений функции: Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Наибольшее значение функции равно $k=0$. Множество значений $E(y) = (-\infty; 0]$.

Построение графика: Отмечаем вершину $(3,1; 0)$ и ось симметрии $x=3,1$. Найдем точки: при $x=4,1$, $y=-(4,1-3,1)^2=-1$; при $x=2,1$, $y=-(2,1-3,1)^2=-1$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Ось симметрии: $x = 3,1$; вершина: $(3,1; 0)$; множество значений: $(-\infty; 0]$. График представлен выше.

4)

Для функции $y = x^2 - 2,4$. Это уравнение можно переписать в виде $y = (x - 0)^2 - 2,4$.

Здесь $a=1$, $h=0$, $k=-2,4$.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(0; -2,4)$.

Ось симметрии — прямая $x = h$, то есть $x = 0$ (совпадает с осью Oy).

Множество значений функции: Так как $a=1 > 0$, ветви направлены вверх. Наименьшее значение функции равно $k=-2,4$. Множество значений $E(y) = [-2,4; +\infty)$.

Построение графика: Отмечаем вершину $(0; -2,4)$, которая лежит на оси Oy. Найдем точки: при $x=1$, $y=1^2-2,4=-1,4$; при $x=2$, $y=2^2-2,4=1,6$. Симметричные точки $(-1; -1,4)$ и $(-2; 1,6)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Ось симметрии: $x = 0$; вершина: $(0; -2,4)$; множество значений: $[-2,4; +\infty)$. График представлен выше.

5)

Для функции $y = -x^2 + 4$. Это уравнение можно переписать в виде $y = -(x - 0)^2 + 4$.

Здесь $a=-1$, $h=0$, $k=4$.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(0; 4)$.

Ось симметрии — прямая $x = h$, то есть $x = 0$ (ось Oy).

Множество значений функции: Так как $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Наибольшее значение функции равно $k=4$. Множество значений $E(y) = (-\infty; 4]$.

Построение графика: Отмечаем вершину $(0; 4)$ на оси Oy. Найдем точки: при $x=1$, $y=-1^2+4=3$; при $x=2$, $y=-2^2+4=0$. Симметричные точки $(-1; 3)$ и $(-2; 0)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Ось симметрии: $x = 0$; вершина: $(0; 4)$; множество значений: $(-\infty; 4]$. График представлен выше.

6)

Для функции $y = -(x + 3)^2 - 2$. Перепишем уравнение в виде $y = -(x - (-3))^2 - 2$.

Здесь $a=-1$, $h=-3$, $k=-2$.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(-3; -2)$.

Ось симметрии — прямая $x = h$, то есть $x = -3$.

Множество значений функции: Так как $a=-1 < 0$, ветви направлены вниз. Наибольшее значение функции равно $k=-2$. Множество значений $E(y) = (-\infty; -2]$.

Построение графика: Отмечаем вершину $(-3; -2)$ и ось симметрии $x=-3$. Найдем точки: при $x=-2$, $y=-(-2+3)^2-2=-3$; при $x=-4$, $y=-(-4+3)^2-2=-3$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Ось симметрии: $x = -3$; вершина: $(-3; -2)$; множество значений: $(-\infty; -2]$. График представлен выше.

7)

Для функции $y = (x - 2)^2 - 2$. Уравнение дано в вершинной форме $y=a(x-h)^2+k$.

Здесь $a=1$, $h=2$, $k=-2$.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(2; -2)$.

Ось симметрии — прямая $x = h$, то есть $x = 2$.

Множество значений функции: Так как $a=1 > 0$, ветви направлены вверх. Наименьшее значение функции равно $k=-2$. Множество значений $E(y) = [-2; +\infty)$.

Построение графика: Отмечаем вершину $(2; -2)$ и ось симметрии $x=2$. Найдем точки: при $x=3$, $y=(3-2)^2-2=-1$; при $x=4$, $y=(4-2)^2-2=2$. Симметричные точки $(1; -1)$ и $(0; 2)$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Ось симметрии: $x = 2$; вершина: $(2; -2)$; множество значений: $[-2; +\infty)$. График представлен выше.

8)

Для функции $y = -3(x + 2)^2 + 5$. Перепишем уравнение в виде $y = -3(x - (-2))^2 + 5$.

Здесь $a=-3$, $h=-2$, $k=5$.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(-2; 5)$.

Ось симметрии — прямая $x = h$, то есть $x = -2$.

Множество значений функции: Так как $a=-3 < 0$, ветви направлены вниз. Наибольшее значение функции равно $k=5$. Множество значений $E(y) = (-\infty; 5]$.

Построение графика: Отмечаем вершину $(-2; 5)$ и ось симметрии $x=-2$. Ветви параболы "сжаты" к оси симметрии в 3 раза по сравнению с $y=-x^2$. Найдем точки: при $x=-1$, $y=-3(-1+2)^2+5=2$; при $x=-3$, $y=-3(-3+2)^2+5=2$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Ось симметрии: $x = -2$; вершина: $(-2; 5)$; множество значений: $(-\infty; 5]$. График представлен выше.

9)

Для функции $y = \frac{1}{5}(x - 2,8)^2 - 8\frac{1}{3}$. Это уравнение параболы в форме $y = a(x-h)^2 + k$.

Здесь $a=\frac{1}{5}$, $h=2,8$, $k=-8\frac{1}{3}$.

Вершина параболы находится в точке $(h; k)$, то есть $(2,8; -8\frac{1}{3})$.

Ось симметрии — прямая $x = h$, то есть $x = 2,8$.

Множество значений функции: Так как $a=\frac{1}{5} > 0$, ветви направлены вверх. Наименьшее значение функции равно $k=-8\frac{1}{3}$. Множество значений $E(y) = [-8\frac{1}{3}; +\infty)$.

Построение графика: Отмечаем вершину $(2,8; -8\frac{1}{3})$ и ось симметрии $x=2,8$. Ветви параболы "шире", чем у $y=x^2$. Найдем точки: при $x=7,8$, $y=\frac{1}{5}(7,8-2,8)^2-8\frac{1}{3} = \frac{1}{5}(5)^2 - 8\frac{1}{3} = 5-8\frac{1}{3} = -3\frac{1}{3}$. Симметричная точка $(-2,2; -3\frac{1}{3})$. Соединяем точки плавной кривой.

Ответ: Ось симметрии: $x = 2,8$; вершина: $(2,8; -8\frac{1}{3})$; множество значений: $[-8\frac{1}{3}; +\infty)$. График представлен выше.