Номер 13.18, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.18. Постройте график и укажите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $y = |x^2 - 4|$;

2) $y = |8 - 2x^2|$;

3) $y = |x^2 - 3x|$;

4) $y = |-x^2 - 5x|$.

Для построения графика функции вида $y = |f(x)|$, где $f(x)$ — квадратичная функция, необходимо:

1. Построить график параболы $y = f(x)$.

2. Часть графика, расположенную выше или на оси Ox ($f(x) \ge 0$), оставить без изменений.

3. Часть графика, расположенную ниже оси Ox ($f(x) < 0$), симметрично отразить относительно оси Ox.

Промежутки возрастания и убывания определяются по итоговому графику. Точками, в которых может меняться характер монотонности, являются вершины параболы и точки пересечения с осью Ox.

1) $y = |x^2 - 4|$

Сначала построим график параболы $y = x^2 - 4$. Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$). Координаты вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$; $y_в = 0^2 - 4 = -4$. Вершина в точке $(0, -4)$. Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции): $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) = 0 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2$. Парабола находится ниже оси Ox на интервале $(-2, 2)$. Для построения графика $y = |x^2 - 4|$ мы отражаем часть параболы на интервале $(-2, 2)$ относительно оси Ox. Вершина $(0, -4)$ перейдет в точку $(0, 4)$.

Из графика видно, что:

• Функция убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, 2]$.

• Функция возрастает на промежутках $[-2, 0]$ и $[2, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, 2]$, возрастает на промежутках $[-2, 0]$ и $[2, +\infty)$.

2) $y = |8 - 2x^2|$

Построим график параболы $y = 8 - 2x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вниз ($a=-2<0$). Координаты вершины: $x_в = -\frac{0}{2 \cdot (-2)} = 0$; $y_в = 8 - 2 \cdot 0^2 = 8$. Вершина в точке $(0, 8)$. Нули функции: $8 - 2x^2 = 0 \Rightarrow 2x^2 = 8 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2$. Парабола находится ниже оси Ox на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(2, +\infty)$. Для построения графика $y = |8 - 2x^2|$ мы отражаем части параболы на этих интервалах относительно оси Ox.

Из графика видно, что:

• Функция убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, 2]$.

• Функция возрастает на промежутках $[-2, 0]$ и $[2, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, 2]$, возрастает на промежутках $[-2, 0]$ и $[2, +\infty)$.

3) $y = |x^2 - 3x|$

Построим график параболы $y = x^2 - 3x$. Ветви направлены вверх ($a=1>0$). Вершина: $x_в = -\frac{-3}{2 \cdot 1} = 1.5$; $y_в = (1.5)^2 - 3(1.5) = 2.25 - 4.5 = -2.25$. Вершина в точке $(1.5, -2.25)$. Нули функции: $x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x - 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 3$. Парабола находится ниже оси Ox на интервале $(0, 3)$. Отражаем эту часть параболы относительно оси Ox. Вершина $(1.5, -2.25)$ перейдет в точку $(1.5, 2.25)$.

Из графика видно, что:

• Функция убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1.5, 3]$.

• Функция возрастает на промежутках $[0, 1.5]$ и $[3, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1.5, 3]$, возрастает на промежутках $[0, 1.5]$ и $[3, +\infty)$.

4) $y = |-x^2 - 5x|$

Используем свойство модуля: $|-a| = |a|$. Таким образом, $y = |-x^2 - 5x| = |-(x^2+5x)| = |x^2 + 5x|$. Построим график параболы $y = x^2 + 5x$. Ветви направлены вверх ($a=1>0$). Вершина: $x_в = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2.5$; $y_в = (-2.5)^2 + 5(-2.5) = 6.25 - 12.5 = -6.25$. Вершина в точке $(-2.5, -6.25)$. Нули функции: $x^2 + 5x = 0 \Rightarrow x(x + 5) = 0 \Rightarrow x_1 = -5, x_2 = 0$. Парабола находится ниже оси Ox на интервале $(-5, 0)$. Отражаем эту часть параболы относительно оси Ox. Вершина $(-2.5, -6.25)$ перейдет в точку $(-2.5, 6.25)$.

Из графика видно, что:

• Функция убывает на промежутках $(-\infty, -5]$ и $[-2.5, 0]$.

• Функция возрастает на промежутках $[-5, -2.5]$ и $[0, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty, -5]$ и $[-2.5, 0]$, возрастает на промежутках $[-5, -2.5]$ и $[0, +\infty)$.