Номер 13.22, страница 113 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.22. 1) $y = 1 - x|x|;$

2) $y = x^2 - \frac{x^2}{|x|};$

3) $y = x^2 - \frac{|x|}{x};$

4) $y = 2x^2 - \frac{x^2}{\sqrt{x^2}};$

5) $y = x^2 - \frac{4x^2}{(\sqrt{x})^2};$

6) $y = 4x - \frac{x^3}{|x|}.$

1) Для того чтобы упростить выражение $y = 1 - x|x|$, необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: если $x \ge 0$, то $|x| = x$.
Функция принимает вид: $y = 1 - x \cdot x = 1 - x^2$.
На этом промежутке график функции является частью параболы, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0, 1)$.

Случай 2: если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Функция принимает вид: $y = 1 - x \cdot (-x) = 1 + x^2$.
На этом промежутке график функции является частью параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 1)$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной и может быть записана в виде системы:

$y = \begin{cases} 1 - x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ 1 + x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} 1 - x^2, & \text{если } x \ge 0 \\ 1 + x^2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

2) Рассмотрим функцию $y = x^2 - \frac{x^2}{|x|}$.

Область определения функции: знаменатель $|x|$ не должен быть равен нулю, следовательно, $x \ne 0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Раскроем модуль для двух случаев.

Случай 1: если $x > 0$, то $|x| = x$.
Функция упрощается до: $y = x^2 - \frac{x^2}{x} = x^2 - x$.

Случай 2: если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Функция упрощается до: $y = x^2 - \frac{x^2}{-x} = x^2 + x$.

Функцию можно представить в виде системы:

$y = \begin{cases} x^2 - x, & \text{если } x > 0 \\ x^2 + x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - x, & \text{если } x > 0 \\ x^2 + x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

3) Рассмотрим функцию $y = x^2 - \frac{|x|}{x}$.

Область определения функции: знаменатель $x$ не может быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: если $x > 0$, то $|x| = x$.
Дробь $\frac{|x|}{x}$ становится равной $\frac{x}{x} = 1$.
Функция принимает вид: $y = x^2 - 1$.

Случай 2: если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Дробь $\frac{|x|}{x}$ становится равной $\frac{-x}{x} = -1$.
Функция принимает вид: $y = x^2 - (-1) = x^2 + 1$.

Таким образом, функция является кусочно-заданной:

$y = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } x > 0 \\ x^2 + 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } x > 0 \\ x^2 + 1, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

4) Рассмотрим функцию $y = 2x^2 - \frac{x^2}{\sqrt{x^2}}$.

Сначала упростим выражение в знаменателе. По определению квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$.
Тогда исходная функция эквивалентна $y = 2x^2 - \frac{x^2}{|x|}$.

Область определения: знаменатель $|x|$ не равен нулю, то есть $x \ne 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Раскроем модуль для двух случаев.

Случай 1: если $x > 0$, то $|x| = x$.
Функция принимает вид: $y = 2x^2 - \frac{x^2}{x} = 2x^2 - x$.

Случай 2: если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Функция принимает вид: $y = 2x^2 - \frac{x^2}{-x} = 2x^2 - (-x) = 2x^2 + x$.

В результате получаем кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} 2x^2 - x, & \text{если } x > 0 \\ 2x^2 + x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} 2x^2 - x, & \text{если } x > 0 \\ 2x^2 + x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.

5) Рассмотрим функцию $y = x^2 - \frac{4x^2}{(\sqrt{x})^2}$.

Найдем область определения функции. Выражение $\sqrt{x}$ определено только при $x \ge 0$. Знаменатель $(\sqrt{x})^2$ не должен быть равен нулю, что означает $\sqrt{x} \ne 0$, и следовательно $x \ne 0$.
Объединив эти два условия, получаем, что область определения: $x > 0$.

На всей области определения ($x>0$) справедливо равенство $(\sqrt{x})^2 = x$.
Подставим это в исходное уравнение и упростим его:

$y = x^2 - \frac{4x^2}{x} = x^2 - 4x$.

Данное выражение является функцией, определенной для всех $x > 0$.

Ответ: $y = x^2 - 4x$ при $x > 0$.

6) Рассмотрим функцию $y = 4x - \frac{x^3}{|x|}$.

Область определения функции определяется условием неравенства знаменателя нулю: $|x| \ne 0$, что означает $x \ne 0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Раскроем модуль для двух случаев.

Случай 1: если $x > 0$, то $|x| = x$.
Функция упрощается до: $y = 4x - \frac{x^3}{x} = 4x - x^2$.

Случай 2: если $x < 0$, то $|x| = -x$.
Функция упрощается до: $y = 4x - \frac{x^3}{-x} = 4x - (-x^2) = 4x + x^2$.

Таким образом, получаем кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} 4x - x^2, & \text{если } x > 0 \\ x^2 + 4x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} -x^2 + 4x, & \text{если } x > 0 \\ x^2 + 4x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$.