Номер 13.28, страница 114 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

13.28. Решите уравнение:

1) $ (3x - 1) \cdot (2x + 7) - (x + 3) \cdot (5x - 1) = (x + 1)^2 $;

2) $ 2(x - 3) \cdot (x^2 + 3x + 9) - (x - 2)^3 = (x + 2)^3 $.

1) $(3x - 1)(2x + 7) - (x + 3)(5x - 1) = (x + 1)^2$

Сначала раскроем все скобки в уравнении. Для произведений многочленов используем правило почленного умножения, а для квадрата суммы — формулу сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$(3x \cdot 2x + 3x \cdot 7 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 7) - (x \cdot 5x - x \cdot 1 + 3 \cdot 5x - 3 \cdot 1) = x^2 + 2x \cdot 1 + 1^2$

$(6x^2 + 21x - 2x - 7) - (5x^2 - x + 15x - 3) = x^2 + 2x + 1$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$(6x^2 + 19x - 7) - (5x^2 + 14x - 3) = x^2 + 2x + 1$

Теперь раскроем вторые скобки. Так как перед ними стоит знак минус, все знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$6x^2 + 19x - 7 - 5x^2 - 14x + 3 = x^2 + 2x + 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(6x^2 - 5x^2) + (19x - 14x) + (-7 + 3) = x^2 + 2x + 1$

$x^2 + 5x - 4 = x^2 + 2x + 1$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую. При переносе через знак равенства меняем знак на противоположный.

$x^2 - x^2 + 5x - 2x = 1 + 4$

Снова приведем подобные слагаемые:

$3x = 5$

Найдем $x$:

$x = \frac{5}{3}$

Выделим целую часть:

$x = 1\frac{2}{3}$

Ответ: $1\frac{2}{3}$

2) $2(x - 3)(x^2 + 3x + 9) - (x - 2)^3 = (x + 2)^3$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения:

1. Формула разности кубов: $(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3$.

Применим ее к выражению $(x - 3)(x^2 + 3x + 9)$: $(x - 3)(x^2 + x \cdot 3 + 3^2) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27$.

2. Формула куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Применим ее к $(x-2)^3$: $(x - 2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.

3. Формула куба суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Применим ее к $(x+2)^3$: $(x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$2(x^3 - 27) - (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

Раскроем скобки:

$2x^3 - 54 - x^3 + 6x^2 - 12x + 8 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(2x^3 - x^3) + 6x^2 - 12x + (-54 + 8) = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

$x^3 + 6x^2 - 12x - 46 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

Перенесем все члены из правой части в левую, меняя их знаки на противоположные:

$x^3 + 6x^2 - 12x - 46 - x^3 - 6x^2 - 12x - 8 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + (6x^2 - 6x^2) + (-12x - 12x) + (-46 - 8) = 0$

$-24x - 54 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$-24x = 54$

Найдем $x$:

$x = \frac{54}{-24} = -\frac{54}{24}$

Сократим дробь на их наибольший общий делитель, равный 6:

$x = -\frac{9}{4}$

Выделим целую часть:

$x = -2\frac{1}{4}$

Ответ: $-2\frac{1}{4}$