Номер 14.3, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.3. Постройте график функции $f(x) = \frac{2}{3}x^2 + x - 4\frac{1}{3}$ и найдите ординату точки, лежащей на графике, абсцисса которой равна:

1) -2;

2) -3;

3) 0;

4) 1,5;

5) 2;

6) 3.

Для построения графика функции $f(x) = \frac{2}{3}x^2 + x - 4\frac{1}{3}$ определим ключевые параметры. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $\frac{2}{3} > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

1. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

$x_0 = -\frac{1}{2 \cdot \frac{2}{3}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} = -0.75$.

Ордината вершины $y_0 = f(x_0) = f(-\frac{3}{4})$:

$y_0 = \frac{2}{3}(-\frac{3}{4})^2 + (-\frac{3}{4}) - \frac{13}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{16} - \frac{3}{4} - \frac{13}{3} = \frac{3}{8} - \frac{6}{8} - \frac{104}{24} = \frac{9-18-104}{24} = -\frac{113}{24} = -4\frac{17}{24} \approx -4.71$.

Вершина параболы находится в точке $(-0.75; -4\frac{17}{24})$.

2. Найдем точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $f(0) = \frac{2}{3}(0)^2 + 0 - 4\frac{1}{3} = -4\frac{1}{3}$. Точка $(0; -4\frac{1}{3})$.

Пересечение с осью Ox (при $f(x)=0$): $\frac{2}{3}x^2 + x - \frac{13}{3} = 0$. Умножим на 3, чтобы избавиться от дробей: $2x^2 + 3x - 13 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-13) = 9 + 104 = 113$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{113}}{4}$.

$x_1 = \frac{-3 - \sqrt{113}}{4} \approx -3.4$, $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{113}}{4} \approx 1.9$.

3. Составим таблицу значений для нескольких точек, включая заданные в условии.

$x = -3, y = -1\frac{1}{3}$
$x = -2, y = -3\frac{2}{3}$
$x = 0, y = -4\frac{1}{3}$
$x = 1.5, y = -1\frac{1}{3}$
$x = 2, y = \frac{1}{3}$
$x = 3, y = 4\frac{2}{3}$

На основе этих данных строим график функции:

Теперь найдем ординаты (значения функции $f(x)$) для заданных абсцисс (значений $x$).

1) Для $x = -2$ ордината равна: $f(-2) = \frac{2}{3}(-2)^2 + (-2) - 4\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot 4 - 2 - \frac{13}{3} = \frac{8}{3} - \frac{6}{3} - \frac{13}{3} = \frac{8-6-13}{3} = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3}$.Ответ: $-3\frac{2}{3}$.

2) Для $x = -3$ ордината равна: $f(-3) = \frac{2}{3}(-3)^2 + (-3) - 4\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot 9 - 3 - \frac{13}{3} = 6 - 3 - \frac{13}{3} = 3 - \frac{13}{3} = \frac{9-13}{3} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$.Ответ: $-1\frac{1}{3}$.

3) Для $x = 0$ ордината равна: $f(0) = \frac{2}{3}(0)^2 + 0 - 4\frac{1}{3} = -4\frac{1}{3}$.Ответ: $-4\frac{1}{3}$.

4) Для $x = 1,5$ ордината равна: $f(1,5) = f(\frac{3}{2}) = \frac{2}{3}(\frac{3}{2})^2 + \frac{3}{2} - 4\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} + \frac{3}{2} - \frac{13}{3} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} - \frac{13}{3} = 3 - \frac{13}{3} = \frac{9-13}{3} = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3}$.Ответ: $-1\frac{1}{3}$.

5) Для $x = 2$ ордината равна: $f(2) = \frac{2}{3}(2)^2 + 2 - 4\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot 4 + 2 - \frac{13}{3} = \frac{8}{3} + \frac{6}{3} - \frac{13}{3} = \frac{8+6-13}{3} = \frac{1}{3}$.Ответ: $\frac{1}{3}$.

6) Для $x = 3$ ордината равна: $f(3) = \frac{2}{3}(3)^2 + 3 - 4\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \cdot 9 + 3 - \frac{13}{3} = 6 + 3 - \frac{13}{3} = 9 - \frac{13}{3} = \frac{27-13}{3} = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$.Ответ: $4\frac{2}{3}$.