Номер 14.6, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.6.

1) $f(x) = -2x^2 + 2x - 4;$

2) $f(x) = -3x^2 + 2x - 5;$

3) $f(x) = -2x^2 - 3x - 2,5.$

Поскольку в задании даны квадратичные функции с отрицательным старшим коэффициентом, наиболее вероятной задачей является нахождение их наибольшего значения.

1) $f(x) = -2x^2 + 2x - 4$

Данная функция является квадратичной функцией вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, где $a = -2$, $b = 2$, $c = -4$. График этой функции — парабола.

Поскольку коэффициент $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение в вершине параболы.

Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ находятся по формулам:

$x_0 = -\frac{b}{2a}$

$y_0 = f(x_0)$

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-2)} = -\frac{2}{-4} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Теперь найдем ординату вершины, которая и является наибольшим значением функции:

$y_0 = f(0,5) = -2(0,5)^2 + 2(0,5) - 4 = -2(0,25) + 1 - 4 = -0,5 + 1 - 4 = -3,5$.

Таким образом, наибольшее значение функции равно $-3,5$ и достигается при $x = 0,5$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $-3,5$.

2) $f(x) = -3x^2 + 2x - 5$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -3$, $b = 2$, $c = -5$.

Так как $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз, и функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-3)} = -\frac{2}{-6} = \frac{1}{3}$.

Найдем наибольшее значение функции, вычислив значение функции в точке $x_0 = \frac{1}{3}$:

$y_0 = f(\frac{1}{3}) = -3(\frac{1}{3})^2 + 2(\frac{1}{3}) - 5 = -3(\frac{1}{9}) + \frac{2}{3} - 5 = -\frac{3}{9} + \frac{2}{3} - 5 = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} - 5 = \frac{1}{3} - 5 = \frac{1}{3} - \frac{15}{3} = -\frac{14}{3}$.

Наибольшее значение функции равно $-\frac{14}{3}$ (или $-4\frac{2}{3}$) и достигается при $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $-\frac{14}{3}$.

3) $f(x) = -2x^2 - 3x - 2,5$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a = -2$, $b = -3$, $c = -2,5$.

Поскольку $a = -2 < 0$, ветви параболы направлены вниз, значит функция имеет наибольшее значение в вершине.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot (-2)} = -\frac{-3}{-4} = -\frac{3}{4} = -0,75$.

Найдем наибольшее значение функции, подставив $x_0 = -0,75$ в уравнение функции:

$y_0 = f(-0,75) = -2(-0,75)^2 - 3(-0,75) - 2,5 = -2(0,5625) + 2,25 - 2,5 = -1,125 + 2,25 - 2,5 = 1,125 - 2,5 = -1,375$.

Наибольшее значение функции равно $-1,375$ (или $-\frac{11}{8}$) и достигается при $x = -0,75$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $-1,375$.