Номер 14.2, страница 120 - гдз по алгебре 8 класс учебник Абылкасымова, Кучер

14.2. Выделите квадрат двучлена для функции f(x):

1) $f(x) = 2x^2 + 2x - 5;$

2) $f(x) = 3x^2 - x + 2;$

3) $f(x) = 4x^2 - 2x + 4;$

4) $f(x) = \frac{2}{3}x^2 - x - 4\frac{1}{3};$

5) $f(x) = 2\frac{1}{3}x^2 - 3x + 4\frac{1}{3};$

6) $f(x) = \frac{2}{7}x^2 - \frac{1}{7}x - 4\frac{1}{7}.$

1) Для функции $f(x) = 2x^2 + 2x - 5$ выполним преобразования для выделения полного квадрата. Сначала вынесем за скобки коэффициент 2 при $x^2$:
$f(x) = 2(x^2 + x) - 5$
Дополним выражение в скобках до полного квадрата, прибавив и отняв $(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$:
$f(x) = 2(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) - 5$
Свернем квадрат суммы и раскроем внешние скобки:
$f(x) = 2((x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) - 5 = 2(x + \frac{1}{2})^2 - 2 \cdot \frac{1}{4} - 5$
Упростим константы:
$f(x) = 2(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 5 = 2(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{11}{2}$.
Ответ: $f(x) = 2(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{11}{2}$.

2) Для функции $f(x) = 3x^2 - x + 2$ выполним преобразования:
$f(x) = 3(x^2 - \frac{1}{3}x) + 2$
$f(x) = 3(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{6} + (\frac{1}{6})^2 - (\frac{1}{6})^2) + 2$
$f(x) = 3((x - \frac{1}{6})^2 - \frac{1}{36}) + 2 = 3(x - \frac{1}{6})^2 - 3 \cdot \frac{1}{36} + 2$
$f(x) = 3(x - \frac{1}{6})^2 - \frac{1}{12} + 2 = 3(x - \frac{1}{6})^2 + \frac{23}{12}$.
Ответ: $f(x) = 3(x - \frac{1}{6})^2 + \frac{23}{12}$.

3) Для функции $f(x) = 4x^2 - 2x + 4$ выполним преобразования:
$f(x) = 4(x^2 - \frac{1}{2}x) + 4$
$f(x) = 4(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2) + 4$
$f(x) = 4((x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}) + 4 = 4(x - \frac{1}{4})^2 - 4 \cdot \frac{1}{16} + 4$
$f(x) = 4(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4} + 4 = 4(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{15}{4}$.
Ответ: $f(x) = 4(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{15}{4}$.

4) Для функции $f(x) = \frac{2}{3}x^2 - x - 4\frac{1}{3}$ сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $4\frac{1}{3} = \frac{13}{3}$.
$f(x) = \frac{2}{3}x^2 - x - \frac{13}{3}$.
Выполним преобразования для выделения полного квадрата:
$f(x) = \frac{2}{3}(x^2 - \frac{3}{2}x) - \frac{13}{3} = \frac{2}{3}(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{4} + (\frac{3}{4})^2 - (\frac{3}{4})^2) - \frac{13}{3}$
$f(x) = \frac{2}{3}((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) - \frac{13}{3} = \frac{2}{3}(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{16} - \frac{13}{3}$
$f(x) = \frac{2}{3}(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{3}{8} - \frac{13}{3} = \frac{2}{3}(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{24} - \frac{104}{24} = \frac{2}{3}(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{113}{24}$.
Ответ: $f(x) = \frac{2}{3}(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{113}{24}$.

5) Для функции $f(x) = 2\frac{1}{3}x^2 - 3x + 4\frac{1}{3}$ сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ и $4\frac{1}{3} = \frac{13}{3}$.
$f(x) = \frac{7}{3}x^2 - 3x + \frac{13}{3}$.
Выполним преобразования для выделения полного квадрата:
$f(x) = \frac{7}{3}(x^2 - \frac{9}{7}x) + \frac{13}{3} = \frac{7}{3}(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{9}{14} + (\frac{9}{14})^2 - (\frac{9}{14})^2) + \frac{13}{3}$
$f(x) = \frac{7}{3}((x - \frac{9}{14})^2 - \frac{81}{196}) + \frac{13}{3} = \frac{7}{3}(x - \frac{9}{14})^2 - \frac{7}{3} \cdot \frac{81}{196} + \frac{13}{3}$
$f(x) = \frac{7}{3}(x - \frac{9}{14})^2 - \frac{27}{28} + \frac{13}{3} = \frac{7}{3}(x - \frac{9}{14})^2 - \frac{81}{84} + \frac{364}{84} = \frac{7}{3}(x - \frac{9}{14})^2 + \frac{283}{84}$.
Ответ: $f(x) = \frac{7}{3}(x - \frac{9}{14})^2 + \frac{283}{84}$.

6) Для функции $f(x) = \frac{2}{7}x^2 - \frac{1}{7}x - 4\frac{1}{7}$ сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $4\frac{1}{7} = \frac{29}{7}$.
$f(x) = \frac{2}{7}x^2 - \frac{1}{7}x - \frac{29}{7}$.
Выполним преобразования для выделения полного квадрата:
$f(x) = \frac{2}{7}(x^2 - \frac{1}{2}x) - \frac{29}{7} = \frac{2}{7}(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2) - \frac{29}{7}$
$f(x) = \frac{2}{7}((x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}) - \frac{29}{7} = \frac{2}{7}(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{16} - \frac{29}{7}$
$f(x) = \frac{2}{7}(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{56} - \frac{29}{7} = \frac{2}{7}(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{56} - \frac{232}{56} = \frac{2}{7}(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{233}{56}$.
Ответ: $f(x) = \frac{2}{7}(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{233}{56}$.